Формула Клаузиуса — Моссотти

Фо́рмула Кла́узиуса — Моссо́тти описывает связь статической диэлектрической проницаемости диэлектрика с поляризуемостью составляющих его частиц^[1]. Получена независимо друг от друга в 1850 г. Оттавиано Ф. Моссотти^[2] и в 1879 г. Рудольфом Ю. Э. Клаузиусом^[3]. В случаях, когда вещество состоит из частиц одного сорта, в Гауссовой системе единиц формула имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha ,}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость, ${\displaystyle N}$ — количество частиц в единице объёма, а ${\displaystyle \alpha }$ — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент ${\displaystyle \alpha }$, связывающий напряжённость постоянного электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$, действующего на частицу, с дипольным моментом ${\displaystyle {\vec {p}}}$, образующимся у частицы под действием этого поля^[4]:

${\displaystyle {\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}.}$

Поскольку предполагается, что поле во времени не изменяется, то его действие способно вызывать смещения частиц как с малой массой — электронов, так и с большой — ионов и атомов. Соответственно, в данном случае поляризуемость включает в себя электронную, ионную и атомную поляризуемости.

Формулу записывают также в виде:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi }{3}}N_{\mathrm {A} }\alpha ,}$

где ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса вещества, ${\displaystyle \rho }$ — его плотность, а ${\displaystyle N_{\mathrm {A} }}$ — постоянная Авогадро.

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и объёмными концентрациями ${\displaystyle N_{i}}$, то формула принимает вид:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\left[N_{1}\alpha _{1}+N_{2}\alpha _{2}+\cdots +N_{n}\alpha _{n}\right].}$

Формула применима только по отношению к неполярным диэлектрикам, то есть к таким, частицы которых собственным дипольным моментом не обладают. Для применимости формулы необходимо также, чтобы диэлектрик был изотропным.

Вывод

Макроскопическую поляризацию ${\displaystyle {\vec {P}}}$ можно представить как сумму индуцированных дипольных моментов ${\displaystyle {\vec {p}}_{\text{ind}}}$ в рассматриваемом объеме, деленную на объем (как плотность дипольного момента):

${\displaystyle {\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{local}}}$

где ${\displaystyle N}$ - концентрация частиц , ${\displaystyle \alpha }$ - поляризуемость, ${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{local}}}$ - локальное электрическое поле, действующее на атом или молекулу.

Запишем связь поляризации и среднего макроскопического поля через диэлектрическую восприимчивость ${\displaystyle \chi }$ и диэлектрическую проницаемость ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$:

${\displaystyle {\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}}$

и получим следующее равенство:

${\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{local}}}$

Теперь необходимо связать локальное поле со средним.

---

Заметим, что для разреженных газов локальное поле равно внешнему, ${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}}$ , и тогда:

${\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha }$

---

Для диэлектрика локальное поле не равно приложенному внешнему полю, поскольку соседние индуцированные диполи также создают электрическое поле.

${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}}$: внешнее электрическое поле

${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0})}$: электрическое поле окружения, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца.

Таким образом, локальное поле:

${\displaystyle {\vec {E}}_{\text{local}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}$

При подстановке в равенство выше:

${\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}$

в итоге получаем формулу Клаузиса-Моссотти:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}}$

Обсуждение

Приближённый характер присущ формуле изначально, поскольку приближённой является модель диэлектрика, используемая при её выводе. Действительно, в общем случае нет оснований полагать, что диэлектрик состоит из отдельных частиц с поляризуемостями, присущими им как таковым. Так, в диэлектриках с ковалентными связями электроны могут принадлежать сразу двум атомам. В ионных кристаллах такого обобществления не происходит, но поляризуемости ионов в кристаллах могут существенно отличаться от их поляризуемостей в свободном состоянии.

Точность формулы зависит от агрегатного состояния среды, для описания которой она используется. С наиболее высокой точностью формула справедлива для газов и жидкостей.

Обобщением формулы Клаузиуса — Моссотти на случай полярных диэлектриков, частицы которых обладают дипольным моментом и в отсутствие поля, является формула Ланжевена – Дебая^[5].

В случае оптических частот электромагнитного поля, соответствующих видимому и ультрафиолетовому излучению, смещения ионов и атомов под действием поля происходить не успевают. Поэтому на формирование диэлектрической проницаемости влияют только электронные поляризуемости частиц. Соответственно, в этом случае используется аналог формулы Клаузиуса — Моссотти, справедливый для оптического излучения, — формула Лоренца — Лоренца.

В настоящее время формула Клаузиуса — Моссотти используется не только в её первоначальном виде, формулу продолжают развивать и совершенствовать для повышения точности получаемых результатов и расширения сферы её применения^[6].

См. также

• Формула Лоренца — Лоренца