Формула Плюккера

Формула Плюккера — одна из семейства формул, выведенных немецким математиком и физиком Плюккером в 1830-х годах. Формулы связывают некоторые инварианты алгебраических кривых и инварианты дуальных им кривых. Инвариант, называемый родом и являющийся общим как для кривой, так и для дуальной ей кривой, связан с другими инвариантами похожими формулами. Эти формулы и тот факт, что каждый из этих инвариантов должен быть положительным целым числом, накладывают строгие ограничения на возможные значения инвариантов.

Инварианты Плюккера и базовые уравнения

Кривая в этом контексте задаётся невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости. Прямые в этой плоскости соответствуют точкам дуальной проективной плоскости, а прямые, касательные к данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам на алгебраической кривой C^*, называемой дуальной кривой. Точки же кривой C соответствуют прямым, касательным к C^*, так что дуальной кривой для C^* будет C.

Первые два инварианта, участвующие в формулах Плюккера — это степень d кривой C и степень d^*, называемая классом кривой C. Геометрически d — это число точек пересечения произвольной прямой и C, включая комплексные точки и бесконечно удалённые точки с учётом кратности. Класс d^* — это число касательных к C, проходящих через произвольную точку плоскости. Например, коническое сечение имеет и степень, и класс 2. Если у кривой C нет особых точек, первая формула Плюккера утверждает, что

${\displaystyle d^{*}=d(d-1),}$

но для кривых с особыми точками формулу нужно подправить.

Пусть δ — число обыкновенных двойных точек кривой C, то есть имеющих различные касательные (такие точки называются точками самопересечения^[англ.]) или изолированных, а κ — число каспов, то есть точек, имеющих единственную касательную. Если кривая C имеет особенности более высокой степени, то они рассматриваются как несколько особых точек, согласно анализу природы особенности. Например, обыкновенная тройная точка считается как три двойных точки. Опять же, мнимые точки и точки на бесконечности также учитываются. Уточнённая форма первого равенства Плюккера имеет вид

${\displaystyle d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .}$

Подобным образом, пусть δ^* — число обыкновенных двойных точек, а κ^* — число каспов кривой C^*. Вторая формула Плюккера утверждает, что

${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .}$

Геометрически обыкновенная двойная точка кривой C^* — прямая, касающаяся кривой в двух точках (бикасательная), а касп кривой C^* — точка перегиба.

Первые два уравнения Плюккера имеют двойственные версии:

${\displaystyle d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},}$

${\displaystyle \kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.}$

Эти четыре равенства, фактически, не являются независимыми, так что любые три могут быть использованы для вывода четвёртого. Если заданы любые три из шести инвариантов d, d^*, δ, δ^*, κ и κ^*, то остальные три можно по ним вычислить.

Наконец, геометрический род кривой C можно определить по формуле

${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .}$

Это равенство эквивалентно двойственному

${\displaystyle g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}}$.

Всего мы имеем четыре независимых уравнения с семью неизвестными, и при задании трёх неизвестных остальные четыре могут быть вычислены.

Кривые без особых точек

Важный частный случай — когда кривая C не имеет особых точек, то есть δ и κ равны 0, так что оставшиеся инварианты можно вычислить в терминах исключительно d:

${\displaystyle d^{*}=d(d-1)}$

${\displaystyle \delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)}$

${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)}$

${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2).}$

Так, например, плоская квартика без особых точек имеет род 3, имеет 28 бикасательных и 24 точки перегиба.

Типы кривых

Кривые классифицируются по типам согласно их инвариантам Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с тем ограничением, что инварианты должны быть натуральными числами, сильно ограничивают число возможных типов кривых заданной степени. Проективно эквивалентные кривые должны иметь тот же тип, но кривые одного и того же типа, вообще говоря, не эквивалентны проективно. Кривые степени 2 — конические сечения — имеют единственный тип, задаваемый равенствами d=d^*=2, δ=δ^*=κ=κ^*=g=0.

Для кривых степени 3 возможны три типа с инвариантами^[1]

Тип	d	d*	δ	δ*	κ	κ*	g
(i)	3	6	0	0	0	9	1
(ii)	3	4	1	0	0	3	0
(iii)	3	3	0	0	1	1	0

Кривые типов (ii) и (iii) — это рациональные кубические кривые, с обыкновенной двойной точкой и каспом соответственно. Кривые типа (i) не имеют особых точек (эллиптические кривые).

Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов с инвариантами^[2]

Тип	d	d*	δ	δ*	κ	κ*	g
(i)	4	12	0	28	0	24	3
(ii)	4	10	1	16	0	18	2
(iii)	4	9	0	10	1	16	2
(iv)	4	8	2	8	0	12	1
(v)	4	7	1	4	1	10	1
(vi)	4	6	0	1	2	8	1
(vii)	4	6	3	4	0	6	0
(viii)	4	5	2	2	1	4	0
(ix)	4	4	1	1	2	2	0
(x)	4	3	0	1	3	0	0