Геометрический род

Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант^[англ.] p_g алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

Определение

Геометрический род может быть определён для несингулярных^[англ.] комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа h^n,0 (равное h^0,n согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы плюс единица.

Другими словами, для многообразия V комплексной размерности^[англ.] n это значение равно числу линейно независимых голоморфных n-форм на многообразии V^[1]. Это определение как размерность пространства:

${\displaystyle H^{0}(V,\Omega ^{n})}$

переносится на любое базовое поле, если Ω брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению.

Геометрический род является первым инвариантом ${\displaystyle p_{g}=P_{1}}$ последовательности инвариантов ${\displaystyle P_{n}}$, носящих название плюрижанр^[англ.] (или кратный род).

Случай кривых

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень ${\displaystyle 2g-2}$.

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и формуле Римана — Гурвица^[англ.]. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род:

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

где s — число особых точек, подсчитанное нужным образом.

Если C является неприводимой (и гладкой) поверхностью в проективной плоскости^[англ.], определяемой полиномиальным уравнением степени d, то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$, так что по формуле присоединения^[англ.] каноническое линейное расслоение поверхности C задаётся равенством: ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{\mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}}$.

Род сингулярных многообразий

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые C путём констатации, что ${\displaystyle p_{g}(C)}$ является геометрическим родом нормализации C′. То есть, поскольку отображение ${\displaystyle C^{\prime }\rightarrow C}$ является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. также

• Арифметический род^[англ.]
• Инварианты поверхностей