Формула Шарвина

Формула Шарвина — математическое выражение для сопротивления баллистического контакта в форме отверстия малого диаметра ${\displaystyle d\ll l}$ в непрозрачной для электронов перегородке, где ${\displaystyle l}$ — минимальная (относительно упругих или неупругих соударений) длина свободного пробега^[1]. Формула впервые была получена Юрием Васильевичем Шарвиным в 1965 году^[2].

Формула Шарвина
Названо в честь	Юрий Васильевич Шарвин
Дата публикации	1965
Определяющая формула	${\displaystyle R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},}$

Качественное пояснение

Электрический контакт называют баллистическим, если его размеры существенно меньше длины свободного пробега ${\displaystyle l}$. Простейшей моделью такого контакта является модель круглого отверстия диаметром ${\displaystyle d}$, намного меньшим длины ${\displaystyle l}$, в бесконечно тонкой диэлектрической перегородке между двумя массивными металлами (берегами контакта), к которым приложена разность потенциалов V. Электроны, попавшие в отверстие, свободно проходят через него и создают электрический ток. Электроны, столкнувшиеся с перегородкой, отражаются назад в тот же берег и не участвуют в процессе проводимости. Шарвин заметил, что баллистическое сопротивление ${\displaystyle R_{Sh}}$ такого контакта определяется областью металла с характерным объёмом ${\displaystyle d^{2}l}$ и по порядку величины совпадает с сопротивлением цилиндра диаметром ${\displaystyle d}$ и длиной l^[2]:

${\displaystyle R_{Sh}^{-1}\sim \sigma {\frac {{d}^{2}}{l}}\sim {\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}{\frac {{d}^{2}}{l}}={\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}},}$

(Ур. 1)

где ${\displaystyle \sigma ={\frac {n{{e}^{2}}l}{{p}_{F}}}}$ — удельная электропроводность металла, n — плотность носителей заряда в металле, e — заряд электрона, ${\displaystyle p_{F}}$ — Ферми-импульс. Формулу 1 часто называют сопротивлением Шарвина^[3]. Сопротивление (ур. 1) не зависит от длины свободного пробега и определяется только характеристиками электронного спектра и геометрией контакта.

Теория

Сопротивление Шарвина для произвольного закона дисперсии электронов в металле может быть вычислено с помощью решения кинетического уравнения Больцмана для квазиклассической функции распределения с граничным условием её равновесности вдали от контакта. В баллистическом пределе уравнение не содержит интегралов столкновений электронов с примесями, фононами и др. Результат вычислений в пределе малых напряжений (приближение закона Ома) имеет следующий вид^[4]:

${\displaystyle {{R}_{Sh}^{-1}}={\frac {{{e}^{2}}{{S}_{c}}{{S}_{F}}}{{\left(2\pi \hbar \right)}^{3}}}\left\langle {\frac {{v}_{\parallel }}{v}}\right\rangle ,}$

(Ур. 1)

где ${\displaystyle S_{c}}$ — площадь контакта произвольной формы, ${\displaystyle S_{F}}$ — площадь поверхности Ферми, ${\displaystyle v_{\parallel }}$и ${\displaystyle v}$ — параллельная оси контакта составляющая скорости электрона и её абсолютное значение, угловые скобки ${\displaystyle <...>}$ означают усреднение по части поверхности Ферми, на которой ${\displaystyle v_{\parallel }>0}$. Для круглого отверстия и сферической поверхности Ферми формула (ур. 1) приводит к результату^[5]:

${\displaystyle R_{Sh}^{-1}={\frac {3\pi }{16}}{\frac {n{{e}^{2}}{{d}^{2}}}{{p}_{F}}}\,,}$

(Ур. 2)

отличающемуся от результата (ур. 1), полученного с помощью простейших качественных соображений, лишь постоянным числовым коэффициентом.

Применение

Баллистические контакты, сопротивление которых описывается формулой Шарвина, являются важным инструментом физических исследований. Исследование вольт-амперных характеристик микроконтактов и их производных положено в основу микроконтактной спектроскопии взаимодействия электронов с бозонными возбуждениями проводника^[6][7]. Она используется при расчете проводящих характеристик гранулированных проводников, в которых контакты между отдельными гранулами во многих случаях хорошо описываются формулой Шарвина. С помощью формулы Шарвина может быть рассчитан критический ток джозефсоновских слабых связей в виде микромостиков между двумя сверхпроводниками^[8].