Формулы Мольвейде

Формулы Мольвейде — тригонометрические зависимости, выражающие отношения между длинами сторон и значениями углов при вершинах некоторого треугольника, открытые К. Б. Моллвейде (хотя были известны и ранее, например, Ньютону).

Треугольник на плоскости.

Описание

Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C}{2}}}},}$

где A, B, C — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a, b, c — длины сторон, соответственно между вершинами B и C, C и A, A и B. Формулы названы в честь немецкого математика Карла Мольвейде. Формулы Мольвейде удобно использовать при решении треугольника по двум сторонам и углу между ними^[1]:146 и по двум углам и прилежащей к ним стороне. Аналогичные соотношения в сферической тригонометрии носят название формул Деламбра^[1]:83.

Доказательство

Рассмотрим вывод только первого соотношения, поскольку доказательство второго аналогично.

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}$

Из теоремы синусов:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

имеем:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}}$

откуда следует:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}}$

С учетом формулы двойного угла для синуса:

${\displaystyle \sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$,

а также формулы для суммы синусов:

${\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$

имеем:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}}$

По теореме о сумме углов треугольника:

${\displaystyle C=\pi -(A+B)}$

откуда с учётом формулы приведения для косинуса следует, что:

${\displaystyle \cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}}$

как следствие имеем:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}}$

что и требовалось доказать.

Применение

Поделив отдельно правые и левые части последних формул, сразу получим теорему тангенсов

См. также

• Решение треугольников
• Тригонометрия
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции