Теорема тангенсов

Теорема тангенсов^[1] — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

История

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.^[2][3]

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.^[4]

Формулировка

Рис. 1. Треугольник

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Доказательство

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

Пусть

${\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}$

откуда

${\displaystyle a=d\sin \alpha }$

${\displaystyle b=d\sin \beta .}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Используя известное тригонометрическое тождество

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},\;}$

получаем:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.\qquad \blacksquare }$

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

${\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}$.

Другое доказательство с использованием формул Мольвейде

• Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}.}$

где ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и ${\displaystyle a,\;b,\;c}$ — длины сторон соответственно между вершинами ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

• Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}.}$

• С учетом того, что ${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}$, окончательно имеем:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},}$

что и требовалось доказать.

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формула половины стороны
• Формулы Мольвейде