Функция Эйри

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

${\displaystyle y''-xy\,=\,0\,,}$

График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)^[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ (которая при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ (которая при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций^[2]. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy)^[3]. В 1946 году Джеффри Миллер^[англ.] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным^[4].

В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

Для действительных ${\displaystyle x}$ функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом^[1]:

${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\,,}$

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

${\displaystyle y''-xy\,=\,0\,.}$

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x),}$ у которой при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ колебания имеют ту же амплитуду, что и у ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x),}$ но отличаются по фазе на ${\displaystyle \pi /2}$^[5]. Для действительных ${\displaystyle x}$ функция Эйри 2-го рода выражается интегралом^[4]:

${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\,dt\,.}$

Для комплексных ${\displaystyle z}$ функция Эйри ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(z)}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp\,,}$

где контур ${\displaystyle \gamma _{1}}$ представлен на рисунке^[6]. Контуры ${\displaystyle \gamma _{2}}$ и ${\displaystyle \gamma _{3}}$ также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(z)}$ при произвольном комплексном ${\displaystyle z}$ связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением^[1]:

${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatorname {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\operatorname {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.}$

Свойства

В точке ${\displaystyle x=0}$ функции ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ и их первые производные имеют такие значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,\approx \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operatorname {Ai} '\,(0)\,=\,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,\approx \,-0,258\,819\,403\,792\,807\,,\\\operatorname {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatorname {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatorname {Bi} '\,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,=\,-\operatorname {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция^[7]. Отсюда следует, что при ${\displaystyle x=0}$ вронскиан функций ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ равен ${\displaystyle 1/\pi }$.

При положительных ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

При ${\displaystyle x,}$ стремящемся к ${\displaystyle +\infty }$^[7]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}$

Комплексный аргумент

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

${\displaystyle \mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,}$

где интеграл берётся по контуру ${\displaystyle C,}$ начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом ${\displaystyle -{\dfrac {\pi }{3}}}$ и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом ${\displaystyle {\dfrac {\pi }{3}}}$. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение ${\displaystyle y''-xy=0}$ для продолжения ${\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}$ до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для ${\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}$ остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение ${\displaystyle x^{2/3}}$ и ${\displaystyle x}$ не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для ${\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}$ верна, если x лежит в секторе ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\}}$ для некоторого положительного ${\displaystyle \delta }$. Формулы для ${\displaystyle \mathrm {Ai} \,(-x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bi} \,(-x)}$ верны, если x лежит в секторе ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}}\right\}}$.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции ${\displaystyle \mathrm {Ai} \,(x)}$ на комплексной плоскости нет других нулей, а функция ${\displaystyle \mathrm {Bi} \,(x)}$ имеет бесконечно много нулей в секторе ${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\pi }{2}}\right\}}$.

Связь с другими специальными функциями

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}}$

где I_±1/3 и K_1/3 — решения уравнения ${\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0}$.

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}}$

где J_±1/3 — решения уравнения ${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0}$.

Функции Скорера являются решениями уравнения ${\displaystyle y''-xy=1/\pi .}$ Они также могут быть выражены через функции Эйри:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Hi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}}$

См. также

• Луч Эйри