Характеристическое число (интегральные уравнения)

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение ${\displaystyle \lambda }$, при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение ${\displaystyle \varphi (x)}$, называемое собственной функцией. Здесь ${\displaystyle G}$ — область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,y)}$ — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром ${\displaystyle K(x,y)}$^[1]. Значения ${\displaystyle \lambda }$, не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если ${\displaystyle \lambda }$ — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)}$

имеет единственное решение при любом свободном члене ${\displaystyle f(x)}$; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена ${\displaystyle f(x)}$^[2].

Свойства

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

• Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
• Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
• Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторяя при этом число ${\displaystyle \lambda _{k}}$ столько раз, какова его кратность.

• ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots }$ — все характеристические числа союзного ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$.
• Если ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$ и ${\displaystyle \varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}}$, ${\displaystyle \psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}}$, то есть ${\displaystyle \varphi _{k}}$ и ${\displaystyle \psi _{i}}$ — собственные функции ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ и ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$ соответственно, то ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$ — собственные функции ортогональны в пространстве ${\displaystyle L_{2}(G)}$.
• Повторное ядро ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$ имеет характеристические числа ${\displaystyle \lambda _{k}^{p}}$ и те же собственные функции ${\displaystyle \varphi _{k}}$, что и ядро ${\displaystyle K(x,y)}$.
• Обратно, если ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \varphi }$ — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$, то по крайней мере один из корней ${\displaystyle \lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,}$ уравнения ${\displaystyle \lambda ^{p}=\mu }$ является характеристическим числом ядра ${\displaystyle K(x,y)}$^[3].
• Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной^[4].
• Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты^[2].
• Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел^[5].
• Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел^[6].

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральный оператор Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Резольвента интегрального уравнения
• Альтернатива Фредгольма
• Собственный вектор