Целозначный многочлен

Целозначный многочлен — многочлен, принимающий целые значения для целого аргумента.

Целозначный многочлен не обязательно имеет целые коэффициенты: например, ${\displaystyle p(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}$ целозначен, поскольку одно из чисел ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n+1}$ чётно.

Порождающие целозначные многочлены

Целозначные многочлены одной переменной степени не выше ${\displaystyle d}$ образуют свободную абелеву группу ${\displaystyle I_{d}=\mathbb {Z} ^{d+1}}$ на ${\displaystyle d+1}$ образующих. Например, ${\displaystyle \gamma _{k}={\tbinom {n+k}{k}}}$ для ${\displaystyle k=0,...,d}$ (то есть ${\displaystyle \gamma _{0}=1}$, ${\displaystyle \gamma _{1}=n+1}$, ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ и т. д.) или ${\displaystyle S_{k}={\tbinom {n+k}{d}}}$ для ${\displaystyle k=0,...,d}$, где ${\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}}$ — биномиальные многочлены^[1].

Связь с алгебраической геометрией

Пусть ${\displaystyle K_{0}(\mathbb {P} ^{d})}$ — группа Гротендика проективного пространства размерности ${\displaystyle d}$, то есть абелева группа, порождённая классами ${\displaystyle [E]}$ векторных расслоений ${\displaystyle E}$ и соотношениями ${\displaystyle [E\oplus F]=[E]+[F]}$; в частности, изоморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d+1}}$. Построим отображение ${\displaystyle f:K_{0}(\mathbb {P} ^{d})\to I_{d}}$, отправляющее расслоение ${\displaystyle V}$ в его многочлен Гильберта ${\displaystyle \chi (V(n))}$, где ${\displaystyle \chi }$ — эйлерова характеристика векторного расслоения как когерентного пучка. Тогда ${\displaystyle f({\mathcal {O}}|_{\mathbb {P} ^{k}})=\gamma _{k}}$ и ${\displaystyle f({\mathcal {O}}(k))=S_{k}}$, то есть стандартные целочисленные многочлены имеют ясный геометрический смысл^[2].