Частное распределение

Частное распределение (маргинальное распределение^[1]) — вероятностное распределение вероятностей одной или множества случайных величин, рассматриваемых в качестве компоненты или множества компонент некоторого известного многомерного распределения. Частное распределение вероятностей можно вычислить, суммируя значения всех остальных величин из совместного распределения вероятностей.

Иными словами, ${\displaystyle P(X_{i})=\textstyle \sum _{\forall {X}\neq X_{i}}\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$.

Определения

Пусть ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ — функция распределения для некоторой случайной величины. Если все переменные, за исключением фиксированного ${\displaystyle x_{\gamma }}$, стремятся к ${\displaystyle +\infty }$, то ${\displaystyle F}$ будет стремиться к пределу ${\displaystyle F_{\gamma }}$, который является некой функцией распределения переменной ${\displaystyle x_{\gamma }}$; так например, ${\displaystyle F_{1}(x_{1})=F(x_{1},+\infty ,\ldots ,+\infty )}$. Функция ${\displaystyle F_{\gamma }(x_{\gamma })}$ определяет некоторое одномерное распределение, которое называется частным распределением переменной ${\displaystyle x_{\gamma }}$^[2].

Таким же образом задаётся частное распределение подмножества переменных.

Примеры

Пример со светофором и пешеходом

Допустим, что требуется вычислить вероятность того, что пешеход будет сбит автотранспортом, переходя дорогу на пешеходном переходе, не обращая внимания на сигнал светофора. Пусть ${\displaystyle H}$ (для пешехода) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества ${\displaystyle \{{\text{Сбит}},{\text{Не сбит}}\}}$, а ${\displaystyle L}$ (для сигнала светофора) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества ${\displaystyle \{{\text{Красный}},{\text{Желтый}},{\text{Зеленый}}\}}$.

Объективно, ${\displaystyle H}$ будет зависеть от ${\displaystyle L}$. То есть, ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})}$ будет принимать разные значения в зависимости от того, горит ли красный, желтый или зеленый свет, аналогично для ${\displaystyle P(H={\text{Не сбит}})}$. Например, человек более вероятно будет сбит машиной, если попытается перейти дорогу, когда для автотранспорта горит зеленый свет, чем если горит красный. Другими словами, для каждой пары значений ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$ необходимо учитывать совместное распределение вероятностей ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$, чтобы найти вероятность одновременного наступления этих событий, если пешеход игнорирует состояние светофора.

Однако при попытке вычислить частное распределение ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})}$ ищется вероятность того, что ${\displaystyle H={\text{Сбит}}}$ в ситуации, когда конкретное значение ${\displaystyle L}$ неизвестно и когда пешеход игнорирует сигнал светофора. В общем случае, пешеход может быть сбит при любом заданном сигнале светофора. Следовательно, частное распределение можно найти, суммируя ${\displaystyle P(H|L)}$ для всех возможных значений ${\displaystyle L}$, причем каждое значение ${\displaystyle L}$ взвешивается по своей вероятности наступления.

Следующая таблица, показывает условные вероятности быть сбитым, в зависимости от сигнала светофора:

Условное распределение: ${\displaystyle P(H|L)}$

L H	Красный	Желтый	Зеленый
Не сбит	0.99	0.9	0.2
Сбит	0.01	0.1	0.8

Для нахождения совместного распределения вероятностей требуется больше данных. Например, предположим, что ${\displaystyle P(L={\text{Красный}})=0.2}$, ${\displaystyle P(L={\text{Желтый}})=0.1}$, ${\displaystyle P(L={\text{Зеленый}})=0.7}$. Умножая каждый столбец в условном распределении на вероятность наступления соответствующего сигнала светофора, мы получаем совместное распределение вероятностей ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle L}$:

Совместное распределение: ${\displaystyle P(H,L)}$

L H	Красный	Желтый	Зеленый	${\displaystyle P(H)}$
Не сбит	0.198	0.09	0.14	0.428
Сбит	0.002	0.01	0.56	0.572
Сумма	0.2	0.1	0.7	1

Частное распределение ${\displaystyle P(H={\text{Сбит}})=0.002+0.01+0.56=0.572}$, так как это вероятность быть сбитым при красном, желтом или зеленом сигнале светофора. Аналогично, для ${\displaystyle P(H={\text{Не сбит}})}$ — это сумма по соответствующей строке.