Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Число Ферма
числа вида 2^(2^n)+1 Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).
При числа Ферма простые и равны .
Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.
Remove ads
История
Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа на простые сомножители:
- .
Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [1].
Remove ads
Простые числа Ферма
На 2025 год известны 5 простых чисел Ферма — при [2]
Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при .
Remove ads
Свойства
- Правильный -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда (), где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
- Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель и , то
- и поэтому не является простым.
- Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий[3].
- Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
- Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).
- Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.
Remove ads
Разложение на простые
Суммиров вкратце
Перспектива
Всего по состоянию на 2025 год найдено 373 простых делителя чисел Ферма. Для 328 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя[4]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.
Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при
Remove ads
Обобщённые числа Ферма
Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются их частным случаем для и
Remove ads
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads