Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Число отрезков

Из Википедии, свободной энциклопедии

Число отрезков
Remove ads

Число отрезков — инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной, лежащей в и объемлюще-изотопной геометрическому узлу . Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла обозначается через .[1][2]

Thumb
Узел восьмёрка имеет число отрезков, равное .
Remove ads

Известные значения

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Торический узел (трилистник) имеет число отрезков, равное (так как и ). Это единственный узел с таким числом отрезков.

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно . Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений[3]. В 1997 году Гё Тэк Чин определил[4] число отрезков торического узла для близких :

  • , если ,
  • , если ,
  • , если .

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Колином Адамсом[англ.][5]. Им, например, удалось доказать, что:

  • , если .

Если  — произвольная связная сумма, состоящая из трилистников (не обязательно только левых или только правых), то[5]:

.
Remove ads

Оценки

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
Прмер неточности приведённой оценки: на рисунке изображено представление прямого узла в виде ломаной, число звеньев которой равно , однако, учитывая что прямой узел является связной суммой левого и правого трилистников, приведённая оценка даёт только .

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно[4][5]:

.

Если и  — взаимно простые целые числа, причем , то[4]:

.
Remove ads

Связанные инварианты

Число отрезков узла связано с его числом перекрёстков следующим неравенством[6][7][8]:

.

Примечания

Литература

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads