Восьмёрка (теория узлов)

Эта статья о математическом узле; об узле на верёвках см. Восьмёрка (узел).

В теории узлов восьмёрка (четырёхкратный узел или узел Листинга) — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений после трилистника и тривиального узла. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.

Восьмёрка
Обозначения
Конвея	[22]
Александера–Бриггса[англ.]	41
Даукера[англ.]	4, 6, 8, 2
Многочлены
Александера	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$
Джонса	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$
Конвея	${\displaystyle 1-z^{2}}$
Инварианты
Инвариант Арфа[англ.]	1
Длина косы	4
Число нитей	3
Число мостов	2
Число плёнок[англ.]	2
Число пересечений	4
Род	1
Гиперболический объём	2.02988
Число отрезков	7
Число развязывания	1
Свойства
Простой, гиперболический, альтернированный, полностью амфихиральный, расслоенный, скрученный
Медиафайлы на Викискладе

Узел «Восьмёрка»

Происхождение названия

Название происходит от бытового узла восьмёрка на верёвке, у которой концы соединены.

Описание

Простое параметрическое представление узла «восьмёрка» задаётся множеством точек (x,y,z), для которых

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

где t — вещественная переменная.

Восьмёрка является простым, альтернированным, рациональным^[англ.] узлом с соответствующим значением 5/2. Он является также ахиральным узлом. Восьмёрка является расслоенным узлом. Это следует из другого, менее простого (но более интересного) представления узла:

1. Узел является однородной^[1] замкнутой косой (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), а теорема Джона Сталлингса^[англ.] показывает, что любая однородная коса является расслоённой.
2. Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0) — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения F: R⁴→R² так, что (согласно теореме Джона Милнора) отображение Милнора^[англ.] F является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию F для этого узла, а именно:

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$.

Свойства

Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории 3-многообразий. Где-то в середине 1970-х, Уильям Тёрстон показал, что восьмёрка является гиперболическим узлом путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, хирургий Дена^[англ.] на узле «восьмёрка» дают нехакеновы^[англ.], не допускающие расслоение Зейферта неразложимые^[англ.] 3-многообразия. Это был первый из таких результатов. Много других было открыто путём обобщения построения Тёрстона для других узлов и зацеплений.

Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным объёмом 2,029 88…, согласно работе Чо Чунь и Роберта Майерхофа. С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является двойным накрытием многообразия Гизекинга, которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.

Узел «восьмёрка» и кружевной узел (−2,3,7)^[англ.] являются двумя гиперболическими узлами, для которых известно более шести особых хирургий, хирургий Дена, приводящих к негиперболическим 3-многообразиям. Они имеют 10 и 7 соответственно. Теорема Лэкенби (Lackenby) и Майерхофа, доказательство которой опирается на теорему геометризации и использование компьютерных вычислений, утверждает, что 10 является максимальным возможным числом особых хирургий для любых гиперболических узлов. Однако до сих пор не установлено, является ли восьмёрка единственным узлом, на которой достигается граница 10. Хорошо известная гипотеза утверждает, что нижняя граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

Восьмёрка образует сингулярность в факторе Евклидова пространства по действию P2₁3. Более того, восьмёрка является единственным узлом который образует сингулярность в факторе евклидова пространства по кристаллографических группек.

Простое прямоугольное изображение узла «восьмёрка».

Симметричное изображение, полученное из параметрических уравнений.

Поверхность с границей образованной восьмеркой

Инварианты

Многочлен Александера восьмёрки равен

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

многочлен Конвея равен

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^[2]

а многочлен Джонса равен

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

Симметрия относительно ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle q^{-1}}$ в многочлене Джонса отражает ахиральность восьмёрки.