Экстраполяция

Экстраполя́ция, экстраполи́рование (от лат. extrā — вне, снаружи, за, кроме и лат. polio — выправляю, изменяю^[1]) — в математике и статистике особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями. Иными словами, экстраполяция — приближённое определение значений функции ${\displaystyle f(x)}$ в точках ${\displaystyle x}$, лежащих вне отрезка ${\displaystyle [x_{0},x_{n}]}$, по её значениям в точках ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<...<x_{n}}$^[2].

Примеры разных экстраполяций в зависимости от выбранной модели для интерпретации одних и тех же исходных данных

В более общем смысле экстраполяция — перенос выводов, сделанных относительно какой-либо части объектов или явлений, на всю совокупность данных объектов или явлений, а также на их другую какую-либо часть^[1].

Методы

Методы экстраполяции во многих случаях сходны с методами интерполяции.

Одним из наиболее распространённых методов экстраполяции является параболическая экстраполяция, при которой в качестве значения ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ берётся значение многочлена ${\displaystyle P_{n}(x)}$ степени ${\displaystyle n}$, принимающего в ${\displaystyle n+1}$ точке ${\displaystyle x_{n}}$ заданные значения ${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$. Для параболической экстраполяции пользуются интерполяционными формулами^[2].

Примеры

В 2000 году человек мог купить на свою зарплату 10 пар обуви. В 2020 году — 20 пар обуви. Сколько пар обуви сможет человек купить в 2040 году?

Ответ: абсолютный прирост составил 10 пар обуви за 20 лет. Если использовать линейную экстраполяцию, то в 2040 году человек сможет купить ещё на 10 пар больше, то есть 30 пар обуви

Относительный прирост составил 100 % за 20 лет. Если использовать параболическую экстраполяцию, то в 2040 году человек сможет купить на 100 % больше, то есть 40 пар обуви.

Выбор линейной или параболической экстраполяции лучше сделать относительно её функции и графика. Если достоверно известно, что функция линейна, тогда используется линейная экстраполяция. Для некоторых функций очень сложно определить их вид, поэтому необходимо учитывать обе модели экстраполяции.

См. также

• Интерполяция
• Ретрополяция
• Корреляция
• Диаграмма рассеяния