Эллиптический оператор

Эллиптический оператор — дифференциальный оператор 2-го порядка в частных производных. Является частным случаем гипоэлиптического оператора

Определение

Дифференциальный оператор ${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\mathbf {x} ){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}(\mathbf {x} ){\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+c}$ называется эллиптическим оператором, если квадратичная форма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(\mathbf {x} )\xi _{i}\xi _{j}}$ имеет один и тот же знак для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$^[1].

Применение эллиптических операторов

Эллиптические операторы применяются для исследования и решения эллиптических уравнений. Любое эллиптическое уравнение можно записать в виде ${\displaystyle Lu=f}$. Так же свойства операторов используются при построении численных методов для решения уравнений. В некоторых случаях эти результаты обобщаются на параболические и гиперболические уравнения (при дискретизации этих уравнений только по времени получаются эллиптические уравнения для каждого временного слоя).

Примеры эллиптических операторов

• Оператор Лапласа, записывается в виде ${\displaystyle L=\nabla \cdot \nabla }$
• Обобщения оператора Лапласа, оператор вида ${\displaystyle L=-\nabla \cdot p(\mathbf {x} )\nabla +q(\mathbf {x} )}$, где ${\displaystyle p(\mathbf {x} )>0,\ q(\mathbf {x} )\geq 0}$. Собственные значения такого оператора находятся из задачи Штурма-Лиувилля. На множестве функций ${\displaystyle H_{0}(\Omega )=\left\{u\in H(\Omega ),{\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=0\right\}}$ (${\displaystyle H(\Omega )}$ пространство Лебега на ${\displaystyle \Omega }$) данный оператор является самосопряжённым и положительно определённым^[2].
• Примером нелинейного эллиптического оператора является оператор ${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(|\nabla u|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right)}$