Энергия Уиллмора

Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.

«Поверхность Уиллмора», скульптура в Даремском университете в память Томасу Уиллмору

Определение

В символическом выражении энергия Уиллмора поверхности S равна

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$,

где ${\displaystyle H}$ является средней кривизной, ${\displaystyle K}$ является гауссовой кривизной, а dA является площадью поверхности S. Для замкнутой поверхности, по формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен в терминах эйлеровой характеристики ${\displaystyle \chi (S)}$ поверхности

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

который является топологическим инвариантом, а потому не зависит от конкретного вложения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Тогда энергия Уиллмора может выражена как

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

Альтернативной, но эквивалентной формулой является

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

где ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ являются главными кривизнами поверхности.

Свойства

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений в заданное пространство в смысле вариационного исчисления и можно менять вложение поверхности, оставляя её топологически неизменной.

Критические точки

Основной проблемой в вариационном исчислении является поиск критических точек и минимум функционала.

Для заданного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

${\displaystyle \int _{S}H^{2}\,dA}$

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти минимум (локальный) для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для сферы, вложенной в 3-мерное пространство, критические точки классифицировал Брайант^[1] — они все являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения являются целыми числами, большими или равными 4${\displaystyle \pi }$. Они называются поверхностями Уиллмора.

Поток Уиллмора

Поток Уиллмора является геометрическим потоком^[англ.], соответствующий энергии Уиллмора. Она является ${\displaystyle L^{2}}$-градиентным потоком.

${\displaystyle e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A}$

где H означает среднюю кривизну многообразия ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

${\displaystyle \partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,}$

где ${\displaystyle x}$ лежит на поверхности.

Этот поток приводит к эволюционной задаче в дифференциальной геометрии — поверхность ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ эволюционирует во времени, следуя наиболее крутому уменьшению энергии. Подобно поверхностной диффузии поток является потоком четвёртого порядка, поскольку вариация энергии содержит четвёртую производную.

Приложения

• Клеточные мембраны стремятся к положению с минимальной энергией Уиллмора^[2].
• Энергия Уиллмора используется для построения класса оптимальных выворачиваний сфер, минимаксных выворачиваний.

См. также

• Гипотеза Уиллмора