Гипотеза Уиллмора

Гипотеза Уиллмора — это нижняя граница энергии Уиллмора тора. Гипотеза носит имя английского математика Томаса Уиллмора, который сформулировал её в 1965 году^[1]. Доказательство гипотезы анонсировано Маркишем^[англ.] и Невишом^[англ.] в 2012 году и опубликовано в 2014 году^[2][3].

Энергия Уиллмора

Основная статья: Энергия Уиллмора

Пусть ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3}}$ будет гладким погружением компактной ориентированной поверхности. Пусть дано многообразие M и риманова метрика, порождённая погружением ${\displaystyle v}$. Пусть ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$ будет средней кривизной (среднее арифметическое главных кривизн κ₁ и κ₂ в каждой точке). В такой нотации энергия Уиллмора W(M) многообразия M задаётся выражением

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет неравенству ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ с равенством тогда и только тогда, когда многообразие M является вложенной сферой.

Утверждение

Вычисление величины W(M) для нескольких примеров даёт повод предположить, что должна быть граница, лучшая чем ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ для поверхностей с родом ${\displaystyle g(M)>0}$. В частности, вычисление W(M) для тора с различными симметриями привели Уиллмора в 1965 году к следующей гипотезе, которая теперь носит его имя

Для любого тора M, гладко погружённого в R³, выполняется неравенство ${\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2}}$.

В 1982 году Питер Ли и Яу Шинтун доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3}}$ является погружением компактной поверхности, которая не является вложением, то W(M) не менее ${\displaystyle 8\pi }$^[4].

В 2012 году Фернанду Кода Маркиш и Андре Невиш доказали гипотезу во вложенном случае с помощью минимаксной теории Альмгрена — Питтса минимальных поверхностей^{[англ.][2][3]}. Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году^[5], но работу не приняли для публикации ни в один рецензируемый математический журнал (хотя работа не содержала доказательство гипотезы Уиллмора, Шмидт доказал некоторые другие важные гипотезы в работе). До доказательства Маркиша и Невиша гипотеза Уиллмора была уже доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатый тор (самим Уилмором) и торы вращения (Лангером и Сингером)^[6].