Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Эта-функция Дирихле

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ*(s). Выполняются следующие равенства:

( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0.

Remove ads

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s такие, что где  (целое число, не равное 0).

Remove ads

Значения в некоторых точках

Суммиров вкратце
Перспектива

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

где  — числа Бернулли.
Remove ads

Литература

  • Lindelöf, Ernst. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (фр.). — Gauthier-Villars, 1905. — P. 103.
  • Widder, David Vernon. The Laplace Transform (неопр.) . Princeton University Press, 1946. — С. 230.
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
  • Sondow, Jonathan (2002). Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula. arXiv:math.CO/0211148.
  • Sondow, Jonathan. Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1. arXiv:math/0209393.
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads