Abc-гипотеза

У этого термина существуют и другие значения, см. ABC.

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году^[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году^[2]. Доказательство abc-гипотезы — одна из главных нерешённых проблем теории чисел.

Формулировка

Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует постоянная ${\displaystyle K(\varepsilon )}$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, таких, что ${\displaystyle a+b=c}$, выполняется неравенство

${\displaystyle \max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ — радикал числа ${\displaystyle abc}$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения ${\displaystyle abc}$.

Замечания

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  ${\displaystyle c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.}$

• Условие ${\displaystyle \varepsilon >0}$ необходимо. Для любого ${\displaystyle K}$ существует тройка взаимно простых чисел ${\displaystyle a,b,c=a+b}$ таких, что ${\displaystyle c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)}$. Например тройка вида ${\displaystyle a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}}$, где ${\displaystyle K<3^{n-1}}$.

Следствия

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней^[3].

Доказательство гипотезы Била на основе abc-гипотезы

Согласно гипотезе Била, если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$), то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество ${\displaystyle z}$, для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{1+\varepsilon }}$

Учтём, что ${\displaystyle \operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad} (ABC)\leqslant ABC}$. Поэтому:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (ABC)\right)^{1+\varepsilon }\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^{1+\varepsilon }}$

Поскольку из условий теоремы очевидно, что ${\displaystyle A<C}$ и ${\displaystyle B<C}$, то ${\displaystyle ABC\leqslant C^{3}}$. Тогда:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{3+3\varepsilon }}$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на ${\displaystyle \log C}$, получим ограничение сверху на величину ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}+3+3\varepsilon }$,        (*)

причём, отношение ${\displaystyle {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}}$ должно быть конечным, поскольку, по условию ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — натуральные (то есть ${\displaystyle A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2}$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение ${\displaystyle z}$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ ошибочно. Для оставшегося конечного количества ${\displaystyle z}$ справедливость гипотезы Била можно доказать численно.

Гипотезы Пиллаи и Каталана

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Попытки доказательства

В 2007 году французский математик Люсьен Шпиро^[англ.], работами которого была вдохновлена сама abc-гипотеза, заявил, что ему удалось найти доказательство, однако вскоре было обнаружено, что оно ошибочно^[4].

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу^[5][6]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов^[7].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы^[8]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах^[9]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки^[10]. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств^[10][11], в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки.

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка^[12][7]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения^[13].

В 2021 году доказательство Мотидзуки было опубликовано в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (это институт, в котором работает Мотидзуки), но так и не получило признания математического сообщества^[14][15][16].

См. также

• Гипотеза Холла
• Теорема Мэйсона — Стотерса