D с чертой-преобразование

D с чертой-преобразование — интегральное преобразование, связанное с непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. Прямое D с чертой-преобразование ставит в соответствие изображению непрерывной функции изображение соответствующей ей дискретной функции. Оно широко применяется в разделах теории управления, связанных c дискретными системами.

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{T}(p)}$ — изображение по Лапласу некоторой непрерывной функции ${\displaystyle x_{T}(t)}$, а ${\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )}$ — изображение соответствующей дискретной функции ${\displaystyle x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)}$, где T — период дискретизации, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$.

Введем функцию ${\displaystyle X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)}$. Тогда

${\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{c-j\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c}$

Можно показать^[1], что

${\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta _{k}}{\mathrm {Res} }}{\frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta }}{e^{q}-e^{\eta }}}X(\eta ),}$

причем вычеты берутся по всем полюсам функции ${\displaystyle X(q)}$, и что

${\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2\pi jr)}$

Формула для обратного D с чертой-преобразования:

${\displaystyle X(q)={\overline {\mathcal {D}}}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon )\}=\int \limits _{0}^{1}e^{-q\varepsilon }X^{*}(q,\varepsilon )d\varepsilon }$

Свойства

1. Линейность: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}}$
2. Умножение на ${\displaystyle e^{kq},~k\in \mathbb {Z} }$: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}$
3. Умножение на ${\displaystyle e^{-\gamma q},~0<\gamma <1}$: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{cases}}}$
4. Смещение q на ±λ: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon }X^{*}(q\pm \lambda ,\varepsilon )}$
5. Умножение на q: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}$
6. Деление на q: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon }$
7. Дифференцирование по q: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {d}{dq}}X(q)\right\}={\frac {\partial }{\partial q}}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}$

Таблица некоторых преобразований

${\displaystyle X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}}$	${\displaystyle X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)}$	${\displaystyle X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}}$
${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{q}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{q}}{e^{q}-1}}}$
${\displaystyle {\frac {T}{Ts+\beta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{q+\beta }}}$	${\displaystyle {\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon }}{e^{q}-e^{-\beta }}}}$
${\displaystyle {\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon }(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon ){\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-2\zeta \beta })}}}$