F-пространство

В математике, линейное метрическое пространство ${\displaystyle V}$ называют F-пространством (пространством типа F), если выполнены следующие условия:

1. Умножение на скаляр в ${\displaystyle V}$ как отображение ${\displaystyle (\alpha ,x)\to \alpha x}$, где ${\displaystyle x\in V}$, а ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, непрерывно по метрике ${\displaystyle V}$ при фиксированном ${\displaystyle \alpha }$ и стандартной метрике ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ при фиксированном ${\displaystyle x}$
2. Метрика ${\displaystyle V}$ инвариантна относительно сдвигов, то есть ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (x-y,0)}$.
3. Метрическое пространство ${\displaystyle (V,\rho )}$ является полным.

Некоторые авторы называют эти пространства пространствами Фреше, но обычно под пространствами Фреше понимаются локально выпуклые F-пространства.

Справедлива теорема: всякое F-пространство является топологическим векторным пространством.^[1]

Примеры

• Все Банаховы пространства и пространства Фреше относятся к F-пространствам.
  • В частности, пространства Lp при ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ являются F-пространствами.