GW-приближение

GW-приближение или приближение GW или GW-метод (англ. GW approximation (GWA)) — это приближение, сделанное для расчёта собственно-энергетической части системы многих частиц (электронов)^[1][2][3]. Приближение состоит в том, что разложение собственно-энергетической части Σ через одночастичную функцию Грина G и экранированное кулоновское взаимодействие W (в единицах ${\displaystyle \hbar =1}$)

${\displaystyle \Sigma =iGW-GWGWG+\cdots }$

можно оборвать после первого слагаемого:

${\displaystyle \Sigma \approx iGW}$

Другими словами, собственно-энергетическая часть разлагается в формальный ряд Тейлора по степеням экранированного взаимодействия W, а член самого низкого порядка сохраняется в разложении в GWA.

Теория

Приведенные выше формулы имеют схематический характер и показывают общую идею приближения. Точнее, если пометить координату электрона его положением, спином и временем и объединить все три в составной индекс (числа 1, 2 и т. д.), получится

${\displaystyle \Sigma (1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4\,G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2)+...}$

где верхний индекс «+» означает, что временной индекс сдвинут вперед на бесконечно малую величину. GW-приближение тогда соответствует

${\displaystyle \Sigma (1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)}$

Если заменить W на голое кулоновское взаимодействие (то есть обычное 1/r-взаимодействие), получится стандартный пертурбативный ряд для собственно-энергетической части, который можно найти в большинстве учебников, которые рассматривают многочастичные задачи. GWA с заменой W на голый кулоновский потенциал соответствует обменному потенциалу Хартри — Фока (собственно-энергетической части).

В твердотельной системе ряд для собственно-энергетической части в терминах W должен сходиться намного быстрее, чем традиционный ряд для голого кулоновского взаимодействия. Это связано с тем, что экранирование среды снижает эффективную силу кулоновского взаимодействия: например, если поместить электрон в какое-то место в материале и спросить, каков потенциал он создаёт в каком-то другом месте в материале, значение окажется меньше, чем даётся голым кулоновским взаимодействием (обратное расстояние между точками), потому что другие электроны в среде поляризуются (перемещают или искажают свои электронные состояния), чтобы экранировать электрическое поле. Следовательно, W — это меньшая величина, чем голое кулоновское взаимодействие, так что ряд по W должен иметь более быструю сходимость.

Чтобы увидеть более быструю сходимость, можно рассмотреть простейший пример с однородным или однородным электронным газом, который характеризуется электронной плотностью или, что эквивалентно, средним межэлектронным расстоянием или радиусом Вигнера — Зейтца. ${\displaystyle r_{s}}$. Для оценки нужно выполнить следующие шаги:

• Кинетическая энергия электрона масштабируется как ${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$
• Среднее электрон-электронное отталкивание от голого (неэкранированного) кулоновского взаимодействия масштабируется как ${\displaystyle 1/r_{s}}$ (просто инверсия типичного расстояния)
• Диэлектрическая проницаемость электронного газа в простейшей модели экранирования Томаса — Ферми для волнового вектора ${\displaystyle q}$ задаётся как

${\displaystyle \epsilon (q)=1+\lambda ^{2}/q^{2}}$

где ${\displaystyle \lambda }$ это экранирующее волновое число, которое масштабируется как ${\displaystyle r_{s}^{-1/2}}$

• Типичные волновые векторы ${\displaystyle q}$ масштабируются как ${\displaystyle 1/r_{s}}$ (снова типичное обратное расстояние)
• Следовательно, типичное значение экранировки ${\displaystyle \epsilon \sim 1+r_{s}}$
• Экранированное кулоновское взаимодействие равно ${\displaystyle W(q)=V(q)/\epsilon (q)}$

Таким образом, для чистого кулоновского взаимодействия отношение кулоновской энергии к кинетической имеет порядок ${\displaystyle r_{s}}$, что для типичного металла принимает значения 2-5 и совсем не мало: другими словами, голое кулоновское взаимодействие довольно сильно и приводит к плохому пертурбативному разложению. С другой стороны, соотношение типичного ${\displaystyle W}$ кинетической энергии сильно снижается за счет экранирования и имеет порядок ${\displaystyle r_{s}/(1+r_{s})}$ который ведет себя хорошо и оказывается меньше единицы даже для больших ${\displaystyle r_{s}}$ : экранированное взаимодействие намного слабее и с большей вероятностью даст быстро сходящийся пертурбативный ряд.

Источники

• Основные публикации по применению приближения GW Архивная копия от 4 февраля 2019 на Wayback Machine
• Изображение Ларса Хедина, изобретателя GW
• GW100 — Тестирование подхода GW для молекул.