K-функция

K-функция — математическая функция, обычно обозначаемая ${\displaystyle K(z)}$, является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Определение

Интегральное определение

Формально, K-функция определяется как

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,dt\right]}$.

Определение через полигамма-функцию

K-функция определяется через полигамма функцию:

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]}$

И сбалансированную полигамма-функцию:

${\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]}$

Где ${\displaystyle A\approx 1.28243...}$ — постоянная Глейшера — Кинкелина

Определение в замкнутой форме

K-функция в замкнутой форме определяется как:

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}$

где ${\displaystyle \zeta '(z)}$ обозначает производную дзета-функции Римана, ${\displaystyle \zeta (a,z)}$ — это дзета-функция Гурвица и

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}$

Определение через произведение Вейерштрасса

K-функцию можно определить в виде произведения по Теорема Вейерштрасса о целых функциях

${\displaystyle K(z+1)=\exp \left({\frac {z}{2}}\left(z+1-\ln(2\,\pi )-\gamma \,z\right)\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-n-z}\exp \left({\frac {z^{2}}{2n}}+z\right)\right)}$

Свойства

Рекуррентная формула

Основное свойство K-функции, по аналогии с гамма-функцией — это её рекуррентное уравнение:

${\displaystyle K(z+1)=z^{z}K(z)}$

Функциональные уравнения

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса для всех комплексных ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle K(z)G(z)=e^{(z-1)\ln \Gamma (z)}.}$

Также для K-функции есть аналог формулы дополнения

${\displaystyle K(1-z)=2^{z}K(z)\exp \left(\int _{0}^{z}\ln(\sin(\pi t))\,dt\right)}$

Формула умножения

Формула умножения K-функция схожа с формулой умножения гамма-функции:

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n-1}\Gamma \left({\frac {j}{n}}\right)=(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}n^{-{\frac {n}{2}}}}$

Даная формула выражается через число ${\displaystyle e}$ постоянную Глейшера — Кинкелина

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n-1}K\left({\frac {j}{n}}\right)=A^{\frac {n^{2}-1}{n}}n^{-{\frac {1}{12n}}}e^{\frac {1-n^{2}}{12n}}}$

Интегральное уравнение

Для любого ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Доказательство

Пусть ${\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx}$

Продифференцируем функцию по ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )}$

Применяя свойство логарифма, получаем

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}}$

По основному свойству K-функции ${\displaystyle K(z+1)=z^{z}K(z)}$, тогда:

${\displaystyle f'(\alpha )=\ln {\frac {\alpha ^{\alpha }K(\alpha )}{K(\alpha )}}=\alpha \ln \alpha }$

Проинтегрируем левую и правую части:

${\displaystyle f(\alpha )={\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\ln \alpha -{\frac {1}{2}})+C}$

Теперь рассмотрим ${\displaystyle f(0)}$

${\displaystyle f(0)=\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}[{\frac {t^{2}}{2}}(\ln t-{\frac {1}{2}})]+C=C}$

Тогда

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=f(\alpha )-f(0)={\frac {\alpha ^{2}}{2}}(\ln \alpha -{\frac {1}{2}})}$

Целочисленные значения

Для любого целого неотрицательного n верно:

${\displaystyle K(n+1)=\operatorname {H} (n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot \ldots \cdot n^{n}.}$, где ${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$ — гиперфакториал

В 2003 году Бенуа Клуатре показал следующую формулу, выражающую K-функция натурального числа ${\displaystyle n}$ через определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$ вида:

${\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{pmatrix}}}$.

Экстремум функции

Для положительных аргументов принимает минимальное значение ${\displaystyle 0{,}879786843\dots }$ в точке ${\displaystyle x_{\mathrm {min} }=0{,}53768886\dots .}$

Частные значения

Значение K-функция было найдено только для целых и полуцелых аргументов. В частности

${\displaystyle K(1)=\operatorname {H} (0)=1}$

${\displaystyle K(2)=\operatorname {H} (1)=1}$

${\displaystyle K(3)=\operatorname {H} (2)=4}$

${\displaystyle K(4)=\operatorname {H} (3)=108}$

${\displaystyle K(0)=1}$

${\displaystyle K(-1)=-1}$

${\displaystyle K(-2)=-4}$

${\displaystyle K(-3)=108}$

${\displaystyle K(-4)=27648}$

${\displaystyle K(-n)=(-1)^{\frac {n(n+1)}{2}}K(n+1)=(-1)^{\frac {n(n+1)}{2}}\operatorname {H} (n)}$

${\displaystyle K({\frac {1}{2}})={\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {1}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K({\frac {3}{2}})={\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {13}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K({\frac {5}{2}})={\frac {(3A)^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {49}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K(-{\frac {1}{2}})=-{\frac {iA^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {13}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K(-{\frac {3}{2}})=-{\frac {(3A)^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {49}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K(-{\frac {5}{2}})={\frac {i(15A)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}}{2^{\frac {109}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}}$

${\displaystyle K(n+{\frac {1}{2}})={\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {12n^{2}+1}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}(2i-1)^{2i-1}}}={\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {12n^{2}+1}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}{\sqrt {1^{1}\cdot 3^{3}\cdot 5^{5}\cdot \ldots \cdot (2n-1)^{2n-1}}}}$

${\displaystyle K({\frac {1}{2}}-n)=(-i)^{n}{\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {12n^{2}+1}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}(2i-1)^{2i-1}}}=(-i)^{n}{\frac {A^{\frac {3}{2}}}{2^{\frac {12n^{2}+1}{24}}e^{\frac {1}{8}}}}{\sqrt {1^{1}\cdot 3^{3}\cdot 5^{5}\cdot \ldots \cdot (2n-1)^{2n-1}}}}$

См. также

• G-функция Барнса
• Бета-функция
• Гиперфакториал

Ссылки

• К-функция на mathworld