Постоянная Глейшера — Кинкелина

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta '(-1)}$,

${\displaystyle A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)}$.

1,2824271291 0062263687 5342568869 7917277676 8892732500 1192063740 0217404063 0885882646 1129736491 9582023743 9420646120 3990007489 3315779136 2775280404 1590725738 6172752214 3343271434 3978733506 7915257366 8569078765 6114668644 9997784962 7545181743 1239465276 1282138081 8021926451 6851546143 9199010835 7373070350 4903888123 4188136749 7813305093 7708336822 2249411587 4837348064 3999788300 7012556700 1286994157 7054320539 2758540581 7315881554 8176297038 4743250467 7751473746 0003161602 3046613296 3429915580 9587929336 3438872887 0198895346 0725233184 7024890010 9177694171 2153569193 6749672612 7039801352 6526688689 7821889740 1729375840 7501674721 1489528881 5996668743 1645138903 0696264559 8704695437 4025309960 6800842447 4175540614 9018944413 9386196089 1296821735 2879862988 4342203669 8990060698 0888785849 5874940853 0734711709 0132667567 5033105234 0522105414 1767761563 0819191999 7185237047 7613123153 7413530472 5819814797 4517610275 4083494314 3849652341 3945337306 5832325673 9549576016 9225642773 6926358821 6921598707 7585827469 5751628415 5064858589 0834128227 5562095470

---

Первая тысяча знаков после запятой постоянной Глейшера — Кинкелина

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью^[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах^[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел^[5]

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

или, соответственно,

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$.

Также известно, что^[6]

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/2}}$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента^[5][7], в частности,

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы, суммы и произведения

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах^[5],

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{\tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2}}}=\pi ^{2}\left({\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{\tfrac {1}{8}}\gamma \right)}$,

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{1/k^{2}}=1^{1/1}\cdot 2^{1/4}\cdot 3^{1/9}\cdot \ldots =\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\pi ^{2}/6}}$.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы^[8][9], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

${\displaystyle \ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}}$ — биномиальный коэффициент.