Постоянная Глейшера — Кинкелина

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta '(-1)}$,

${\displaystyle A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)}$.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью^[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах^[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел^[5]

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

или, соответственно,

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$.

Также известно, что^[6]

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/2}}$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента^[5][7], в частности,

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах^[5],

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{\tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2}}}=\pi ^{2}\left({\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{\tfrac {1}{8}}\gamma \right)}$.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы^[8][9], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

${\displaystyle \ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}}$ — биномиальный коэффициент.