L-распределение

У этого термина существуют и другие значения, см. L-распределение.

L-распределе́ние Сосновского — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения из отрезка [0,1], характеризующееся указанной ниже функцией распределения. Данное распределение было предложено более 25 лет назад^[1] для анализа накопления усталостных повреждений при нерегулярном нагружении. За это время выяснилось, что (см., например^[2][3][4]), оно не является частным случаем никакого другого известного распределения и имеет важное значение в механике повреждений^[5].

L-распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle L(\eta ,\gamma )}$
Параметры	${\displaystyle \eta ,\gamma \in (0,\infty )}$ — параметры формы
Носитель	${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\begin{cases}\eta \gamma \left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma -1}\left(1-x\right)^{\eta -1}&0\leqslant x\leqslant 1\\\\0&\ x<0\ ,\ x>1\end{cases}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\begin{cases}0&x<0\\\left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma }&~~~~~0\leqslant x<1\\1&x\geqslant 1\end{cases}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle 1-{\frac {1}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)}$
Медиана	${\displaystyle 1-\left(1-0.5^{\frac {1}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{\eta }}}$
Мода	${\displaystyle {\begin{cases}1-exp\left({\frac {ln\left({\frac {\eta -1}{\eta \gamma -1}}\right)}{\eta }}\right),\eta ,\gamma >1\\{\text{иначе мода отсутствует}}\end{cases}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\eta ^{2}}}\mathrm {B} ^{2}\left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)}$

Определение

L-распределение определяется двухпараметрической интегральной функцией распределения:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma },&0\leq x\leq 1\\1,&x>1\end{cases}}}$

где η, γ – параметры формы (η > 0, γ > 0). Функция L-распределения вполне адекватно описывает процесс накопления повреждений в объекте^[6] и обладает всеми свойствами функций распределения непрерывных случайных величин^[3].

Моменты случайной величины

Выражения моментов случайной величины ξ, подчиняющейся L-распределе­нию, могут быть представлены в явном виде лишь при определенных соотношениях значений параметров^[7], не имеющих практической значимости. Однако они всегда могут быть выражены через Бета-функцию. Представим выражения для начальных моментов четырех младших порядков:

${\displaystyle \nu _{1}=M[\xi ]=1-{\frac {1}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right);}$ ${\displaystyle \nu _{2}=M[\xi ^{2}]=1-{\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right);}$ ${\displaystyle \nu _{3}=M[\xi ^{3}]=1-{\frac {3}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {6}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {3}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {3}{\eta }}\right);}$

${\displaystyle \nu _{4}=M[\xi ^{4}]=1-{\frac {4}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {12}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {12}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {3}{\eta }}\right)+{\frac {4}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {4}{\eta }}\right).}$

Центральные моменты L-распределе­нной случайной величины удобно определять через начальные моменты с помощью известных в теории вероятностей выражений:

${\displaystyle \mu _{1}=0;\mu _{2}=D[\xi ]=\nu _{2}-\nu _{1}^{2}={\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\eta ^{2}}}\mathrm {B} ^{2}\left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right).}$

Характеристическая функция

Характеристическая функция L-распре­деления g(t), как и моменты, не выражается аналитически явно. Графики данной функции (для следующих значений параметров a) γ = 3; b) η = 1) представлены на рисунке.

Функция интенсивности отказов

Рассматривая L-распределенную случайную величину, как наработку объекта до отказа, функция интенсивности отказов объекта λ(x) имеет вид (${\displaystyle x\in [0,1]}$, см. рисунок ниже)

${\displaystyle \lambda (x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\eta \gamma \left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma -1}\left(1-x\right)^{\eta -1}}{1-\left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma }}}}$.

Функция интенсивности отказов для наработки, являющейся случайной величиной, подчиняющейся L-распределению

Функция интенсивности отказов монотонно возрастает при γ>1, поэтому L-распре­деление может использоваться в качестве адекватной модели постепенных (износовых) отказов объектов. При γ < 1 функция интенсивности отказов имеет U-образную форму, что позволяет использовать L-распре­деление для описания наработки объектов до отказа на всех этапах жизненного цикла объекта: в периоде приработки, нормальной эксплуатации и старения.

Оценивание параметров

Статистические оценки ${\displaystyle {\hat {\eta }},{\hat {\gamma }}}$  параметров L-распределения ${\displaystyle {\eta },{\gamma }}$ на практике предлагается определять как решение (численное) системы уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {M}}[\xi ]=1-{\frac {1}{\hat {\eta }}}\mathrm {B} \left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {1}{\hat {\eta }}}\right)\\{\hat {D}}[\xi ]={\frac {2}{\hat {\eta }}}\mathrm {B} \left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {2}{\hat {\eta }}}\right)-{\frac {1}{{\hat {\eta }}^{2}}}\mathrm {B} ^{2}\left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {1}{\hat {\eta }}}\right)\end{cases}}}$

где ${\displaystyle {\hat {M}}[\xi ],{\hat {D}}[\xi ]}$ – несмещенные и состоятельные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины ξ. Вопрос о существовании (возможно, единственности) решения системы уравнений, а также определение свойств полученных оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность) представляет пока нерешенную, задачу.

Генерирование случайной величины

Генерирование случайной величины ξ, подчиняющейся L-распределению, целесообразно методом обратной функции с использованием реализаций R базовой случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1]:

${\displaystyle x=1-\left(1-R^{\frac {1}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{\eta }}}$.