Sgn

У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнум.

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция вещественного аргумента. Обозначается ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$. Определяется следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}}$

График функции y = sgn x (красным цветом)

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|}$

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История и обозначения

Функцию ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: ${\displaystyle [x]}$. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение ${\displaystyle sgn.x}$, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как ${\displaystyle \operatorname {sign} x}$.

Свойства функции

• Область определения: ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Область значений: ${\displaystyle \{-1;0;+1\}}$.
• Гладкая во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка ${\displaystyle x=0}$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны ${\displaystyle +1}$ и ${\displaystyle -1}$ соответственно.
• ${\displaystyle |x|=\operatorname {sgn} x\cdot x}$ и ${\displaystyle x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|}$ для ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$. Иначе говоря,

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$.

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)}$, где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака.
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)}$.
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt}$.
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x}{|x|+\Delta x}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{\Delta x\to +\infty }{\frac {2\cdot \operatorname {arctg} (x\cdot \Delta x)}{\pi }}=\lim _{\Delta x\to -\infty }{\frac {2\cdot \operatorname {arcctg} (x\cdot \Delta x)}{\pi }}-1}$

Вариации и обобщения

• Представление

  ${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}}$

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом ${\displaystyle {\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }}$, где ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} z}$ — аргумент комплексного числа ${\displaystyle z}$. При ${\displaystyle z\neq 0}$ результатом функции ${\displaystyle \operatorname {sgn} z}$ является точка единичной окружности, ближайшая к числу ${\displaystyle z}$. Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу ${\displaystyle z}$. Это же направление в полярных координатах задаёт угол ${\displaystyle \varphi }$. Неопределённое направление, отвечающее числу ${\displaystyle z=0}$, выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell^[1].

• Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как ${\displaystyle \operatorname {csgn} }$, определяется следующим образом:

  ${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}}$

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple^[2].

См. также

• Функция Хевисайда