Пересечения предполных классов булевой логики

Пересечения предполных классов булевой логики являются замкнутыми классами в ${\displaystyle P_{2}}$. Пересечениями предполных классов не исчерпываются все замкнутые классы в ${\displaystyle P_{2}}$, так как пересечений конечное число, а всего замкнутых классов счётное число.

Функции, сохраняющие константы

Функция, сохраняющая константы, — функция ${\displaystyle f\colon E_{2}^{n}\to E_{2}}$, для которой выполняются два условия:

• ${\displaystyle f(0,\ldots ,0)=0}$;
• ${\displaystyle f(1,\ldots ,1)=1}$.

Примеры: тождественная функция ${\displaystyle x}$, конъюнкция ${\displaystyle \land }$, дизъюнкция ${\displaystyle \lor }$, функция голосования ${\displaystyle m(x,y,z)}$, ${\displaystyle x\oplus y\oplus z}$. Для ${\displaystyle n>0}$ количество ${\displaystyle n}$-арных функций, сохраняющих константы, равно ${\displaystyle 2^{2^{n}-2}}$. Нульарных функций, сохраняющих константы, нет.

Класс функций, сохраняющих константы, является замкнутым и равен ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ (обозначение Поста — ${\displaystyle C_{4}}$^[1]). Он является предполным в ${\displaystyle T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1}}$. В ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ 4 предполных класса: ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}}$, ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}}$, ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$, ${\displaystyle T_{0}\cap S=T_{1}\cap S}$^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,\land \}}$, ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,\lor \}}$, ${\displaystyle \{xy\oplus y\oplus z\}}$^[3]. Порядок ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ равен ${\displaystyle 3}$^[4]. В ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle xy\oplus y\oplus z}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$.

Функция сохраняет константы тогда и только тогда, когда она является ${\displaystyle \alpha }$-функцией (то есть отождествление переменных ${\displaystyle f(x,\ldots ,x)=x}$). Поэтому, класс ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ можно определить как множество всех ${\displaystyle \alpha }$-функций. Именно так он определялся в некоторой старой литературе, включая монографию Поста^[5][1]. Класс ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$ самодвойственен.

Монотонные функции без 1

Монотонные функции, не равные тождественно 1, образуют замкнутый класс, равный ${\displaystyle M\cap T_{0}}$. Класс ${\displaystyle M\cap T_{0}}$ двойственен к ${\displaystyle M\cap T_{1}}$. Он является предполным в классах ${\displaystyle T_{0}}$ и ${\displaystyle M}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle A_{3}}$^[6]. Предполных класса 3: ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$ (класс монотонных функций, не равных тождественно константе), ${\displaystyle M\cap T_{0,2}}$ (класс монотонных фукнций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 1^{2}\rangle }$) и ${\displaystyle D\cap T_{0}}$ (класс дизъюнкций с константами)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{0,\lor ,\land \}}$, ${\displaystyle \{0,m(x,y,z)\}}$^[7]. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 2}$, максимальное — ${\displaystyle 3}$. В классе монотонных функций, не равных тождественно 1, нет шефферовой функции. Порядок класса монотонных функций, не равных тождественно 1, равен ${\displaystyle 2}$^[2]. Любой базис класса монотонных функций без 1 имеет функцию, тождественно равную ${\displaystyle 0}$.

Монотонные функции без 0

Монотонные функции, не равные тождественно 0, образуют замкнутый класс, равный ${\displaystyle M\cap T_{1}}$. Класс ${\displaystyle M\cap T_{1}}$ двойственен к ${\displaystyle M\cap T_{0}}$. Он является предполным в классах ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle M}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle A_{2}}$^[8]. Предполных класса 3: ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$ (класс монотонных функций, не равных тождественно константе), ${\displaystyle M\cap T_{1,2}}$ (класс монотонных функций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 0^{2}\rangle }$) и ${\displaystyle D\cap T_{1}}$ (класс дизъюнкций с константами)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{1,\lor ,\land \}}$, ${\displaystyle \{1,m(x,y,z)\}}$^[3]. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 2}$, максимальное — ${\displaystyle 3}$. В классе монотонных функций, не равных тождественно 0, нет шефферовой функции. Порядок класса монотонных функций, не равных тождественно 0, равен ${\displaystyle 2}$^[2]. Любой базис класса монотонных функций без 0 имеет функцию, тождественно равную ${\displaystyle 1}$.

Монотонные функции без констант

Монотонные функции, не равные тождественно константе, образуют замкнутый класс, равный ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Он является предполным в классах ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$, ${\displaystyle M\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle M\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle A_{4}}$^[1]. Предполных класса 2: ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}\cap M}$ (класс монотонных фукнций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 1^{2}\rangle }$ и сохраняющих 1) и ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}\cap M}$ (класс монотонных функций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 0^{2}\rangle }$ и сохраняющих 0)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{\lor ,\land \}}$^[3], ${\displaystyle \{xy\lor zw\}}$. В ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle \{xy\lor zw\}}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$. Порядок класса монотонных функций без констант равен ${\displaystyle 2}$^[2]. Класс ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$ самодвойственен.

Линейные функции, сохраняющие 0

Линейные функции, сохраняющие 0, образуют замкнутый класс ${\displaystyle L\cap T_{0}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle L_{3}}$^[9]. Булева функция является линейной, сохраняющей 0, тогда и только тогда, когда её полином Жегалкина линейный без свободного члена. То есть она имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\oplus \ldots \oplus x_{i_{k}}}$

Булева функция является линейной, сохраняющей 0, тогда и только тогда, когда её кополином Жегалкина линейный и имеет нечётное число на равных тождественно ${\displaystyle 1}$ членов. То есть она имеет один из двух видов:

${\displaystyle x_{i_{1}}\leftrightarrow \ldots \leftrightarrow x_{i_{2k-1}}}$

${\displaystyle x_{i_{1}}\leftrightarrow \ldots \leftrightarrow x_{i_{2k}}\leftrightarrow 0}$

Класс ${\displaystyle L\cap T_{0}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0}}$ и в ${\displaystyle L}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ (все селекторы и функции, тождественно равные 0)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{x\oplus y\}}$, ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,0\}}$. В ${\displaystyle L\cap T_{0}}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle \{x\oplus y\}}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$. Порядок класса линейных функций, сохраняющих 0, равен ${\displaystyle 2}$. Класс ${\displaystyle L\cap T_{0}}$ двойственен классу ${\displaystyle L\cap T_{1}}$.

Линейные функции, сохраняющие 1

Линейные функции, сохраняющие 1, образуют замкнутый класс ${\displaystyle L\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle L_{2}}$^[9]. Булева функция является линейной, сохраняющей 1, тогда и только тогда, когда её кополином Жегалкина линейный без свободного члена. То есть она имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\leftrightarrow \ldots \leftrightarrow x_{i_{k}}}$

Булева функция является линейной, сохраняющей 1, тогда и только тогда, когда её полином Жегалкина линейный и имеет нечётное число ненулевых членов. То есть она имеет один из двух видов:

${\displaystyle x_{i_{1}}\oplus \ldots \oplus x_{i_{2k-1}}}$

${\displaystyle x_{i_{1}}\oplus \ldots \oplus x_{i_{2k}}\oplus 1}$

Класс ${\displaystyle L\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1}}$ и в ${\displaystyle L}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ (все селекторы и функции, тождественно равные 1)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{x\leftrightarrow y\}}$, ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,1\}}$. В ${\displaystyle L\cap T_{1}}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle \{x\leftrightarrow y\}}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$. Порядок класса линейных функций, сохраняющих 1, равен ${\displaystyle 2}$. Класс ${\displaystyle L\cap T_{1}}$ двойственен классу ${\displaystyle L\cap T_{0}}$.

Линейные самодвойственные функции

Линейные самодвойственные функции образуют замкнутый класс ${\displaystyle L\cap S}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle L_{5}}$^[10]. Булева функция является линейной самодвойственной тогда и только тогда, когда её полином Жегалкина линейный и в него входит нечётное число переменных. То есть он имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\oplus \ldots \oplus x_{i_{2k-1}}\oplus c}$

Двойственно, функция является линейной самодвойственной тогда и только тогда, когда её кополином Жегалкина линейный и в него входит нечётное число переменных. То есть он имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\leftrightarrow \ldots \leftrightarrow x_{i_{2k-1}}\leftrightarrow c}$

Класс ${\displaystyle L\cap S}$ является предполным в ${\displaystyle S}$ и в ${\displaystyle L}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle U\cap S}$ (все селекторы и отрицания селекторов)^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z\oplus 1\}}$, ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,{\overline {x}}\}}$. В ${\displaystyle L\cap S}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z\oplus 1\}}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$. Порядок класса линейных самодвойственных функций равен ${\displaystyle 3}$. Класс ${\displaystyle L\cap S}$ самодвойственен.

Самодвойственные функции, сохраняющие константы

Самодвойственные функции, сохраняющие константы, образуют замкнутый класс ${\displaystyle S\cap T_{0}\cap T_{1}=S\cap T_{0}=S\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle D_{1}}$^[11]. Самодвойственная функция сохраняет одну из констант тогда и только тогда, когда она сохраняет другую константу. Количество самодвойственных функций, сохраняющих константы, арности ${\displaystyle n}$ равно ${\displaystyle 2^{2^{n-1}-1}}$.

Класс ${\displaystyle S\cap T_{0}\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle S}$ и в ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle S\cap M}$^[2]. Примеры базисов: ${\displaystyle \{xy\lor x{\overline {z}}\lor y{\overline {z}}\}}$^[12], ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z,m\}}$. В ${\displaystyle S\cap T_{0}\cap T_{1}}$ есть шефферовы функции, например ${\displaystyle \{xy\lor x{\overline {z}}\lor y{\overline {z}}\}}$. Минимальное количество функций в базисе — ${\displaystyle 1}$, максимальное — ${\displaystyle 2}$. Порядок класса самодвойственных функций, сохраняющих константы, равен ${\displaystyle 3}$. Класс ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ самодвойственен.

Линейные функции, сохраняющие константы

Линейные функции, сохраняющие константы, образуют замкнутый класс ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}=L\cap T_{0}\cap S=L\cap T_{1}\cap S=L\cap T_{0}\cap T_{1}\cap S}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle L_{4}}$^[11]. Булева функция является линейной, сохраняющей константы, тогда и только тогда, когда её полином Жегалкина линейный без свободного члена и содержит нечётное число ненулевых членов. То есть она имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\oplus \ldots \oplus x_{i_{2k-1}}}$

Двойственно, булева функция является линейной, сохраняющей константы, тогда и только тогда, когда её кополином Жегалкина линейный без свободного члена и содержит нечётное число входящих в него членов. То есть она имеет вид:

${\displaystyle x_{i_{1}}\leftrightarrow \ldots \leftrightarrow x_{i_{2k-1}}}$

Для линейной функции равносильны следующие 3 условия:

• сохранение констант;
• сохранение ${\displaystyle 0}$ и самодвойственность;
• сохранение ${\displaystyle 1}$ и самодвойственность.

Класс ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle L\cap T_{0}}$, ${\displaystyle L\cap T_{1}}$, ${\displaystyle L\cap S}$ и в ${\displaystyle S\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Предполный класс один — класс селекторов ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$^[2]. Базис всегда состоит из одной функции, например: ${\displaystyle \{x\oplus y\oplus z\}}$. Любая линейная функция, сохраняющая константы, не являющаяся при этом селектором, образует базис и является шефферовой. Этим исчерпываются все базисы ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Порядок класса линейных функций, сохраняющих константы, равен ${\displaystyle 3}$. Класс ${\displaystyle L\cap T_{0}\cap T_{1}}$ самодвойственный.

Монотонные самодвойственные функции

Монотонные самодвойственные функции образуют замкнутый класс ${\displaystyle M\cap S=M\cap S\cap T_{0}=M\cap S\cap T_{1}=M\cap S\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle D_{3}}$^[13]. Любая монотонная самодвойственная функция сохраняет константы.

Класс ${\displaystyle M\cap S}$ является предполным в ${\displaystyle L\cap S}$, ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}\cap M}$ и в ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}\cap M}$. Предполный класс один — класс селекторов ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$^[2]. Базис всегда состоит из одной функции, например: ${\displaystyle \{m(x,y,z)\}}$. Любая монотонная самодвойственная функция, не являющаяся при этом селектором, образует базис и является шефферовой. Этим исчерпываются все базисы ${\displaystyle M\cap S}$. Порядок класса монотонных самодвойственных функций равен ${\displaystyle 3}$. Класс ${\displaystyle M\cap S}$ самодвойственный.

Селекторы с константами

Селекторы с константами образуют замкнутый класс ${\displaystyle M\cap L=U\cap M}$ (${\displaystyle U}$ здесь класс всех несущественных функций). Обозначение Поста — ${\displaystyle R_{11}}$^[14][15]; Яблонский, Гаврилов и Кудрявцев используют обозначение ${\displaystyle O_{8}}$. Все функции этого класса имеют один из трёх видов:

• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}}$;
• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$;
• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$.

Класс ${\displaystyle U\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle D}$ и в ${\displaystyle U}$. Предполных класса 3: ${\displaystyle M\cap L\cap T_{0}}$, ${\displaystyle M\cap L\cap T_{1}}$ и класс констант ${\displaystyle C}$^[2]. Минимальных клона 2: ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle U\cap T_{1}}$. Базис ${\displaystyle U\cap M}$ как замкнутого класса: ${\displaystyle \{x,0,1\}}$^[12]; базис ${\displaystyle U\cap M}$ как как клона: ${\displaystyle \{0,1\}}$. В ${\displaystyle U\cap M}$ нет шефферовых функций и как для замкнутого класса, и как для клона.

Система функций является базисом в ${\displaystyle U\cap M}$ как замкнутого класса тогда и только тогда, когда она содержит по одной функции из вышеприведённых трёх видов и больше ничего. Система функций является базисом ${\displaystyle U\cap M}$ как клона тогда и только тогда, когда она содержит одну функцию, тождественно равную 0, одну функцию, тождественно равную 1, и больше ничего. Функций в базисе как замкнутого класса всегда ровно 3; функций в базисе как клона всегда ровно 2. Порядок класса селекторов с константами как замкнутого класса равен ${\displaystyle 1}$, а как клона равен ${\displaystyle 0}$. Класс ${\displaystyle U\cap M}$ самодвойственен.

Селекторы с 0

Селекторы с 0 образуют замкнутый класс ${\displaystyle M\cap L\cap T_{0}=U\cap T_{0}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle R_{8}}$^[14]; Яблонский, Гаврилов и Кудрявцев используют обозначение ${\displaystyle O_{6}}$^[16]. Все функции этого класса имеют один из двух видов:

• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}}$;
• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$.

Класс ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ является предполным в ${\displaystyle K\cap T_{0}}$, ${\displaystyle D\cap T_{0}}$, ${\displaystyle L\cap T_{0}}$ и в ${\displaystyle U\cap M}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и класс нулей ${\displaystyle C\cap T_{0}}$^[2]. Минимальных клонов 1: ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Базис ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ как замкнутого класса: ${\displaystyle \{x,0\}}$^[12]; базис ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ как как клона: ${\displaystyle \{0\}}$. В ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ нет шефферовых функций как для замкнутого класса, но есть шефферовы функции как для клона.

Система функций является базисом в ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ как замкнутого класса тогда и только тогда, когда она содержит по одной функции из вышеприведённых двух видов и больше ничего. Система функций является базисом ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ как клона тогда и только тогда, когда она содержит одну функцию, тождественно равную 0, и больше ничего. Функций в базисе как замкнутого класса всегда ровно 2; функций в базисе как клона всегда ровно 1. Порядок класса селекторов с 0 как замкнутого класса равен ${\displaystyle 1}$, а как клона равен ${\displaystyle 0}$. Класс ${\displaystyle U\cap T_{0}}$ двойственен классу ${\displaystyle U\cap T_{1}}$.

Селекторы с 1

Селекторы с 1 образуют замкнутый класс ${\displaystyle M\cap L\cap T_{1}=U\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle R_{6}}$^[14]; Яблонский, Гаврилов и Кудрявцев используют обозначение ${\displaystyle O_{5}}$^[16]. Все функции этого класса имеют один из двух видов:

• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}}$;
• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$.

Класс ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle K\cap T_{1}}$, ${\displaystyle D\cap T_{1}}$, ${\displaystyle L\cap T_{1}}$ и в ${\displaystyle U\cap M}$. Предполных класса 2: ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ и класс единиц ${\displaystyle C\cap T_{1}}$^[2]. Минимальных клонов 1: ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Базис ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ как замкнутого класса: ${\displaystyle \{x,1\}}$^[12]; базис ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ как как клона: ${\displaystyle \{1\}}$. В ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ нет шефферовых функций как для замкнутого класса, но есть шефферовы функции как для клона.

Система функций является базисом в ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ как замкнутого класса тогда и только тогда, когда она содержит по одной функции из вышеприведённых двух видов и больше ничего. Система функций является базисом ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ как клона тогда и только тогда, когда она содержит одну функцию, тождественно равную 1, и больше ничего. Функций в базисе как замкнутого класса всегда ровно 2; функций в базисе как клона всегда ровно 1. Порядок класса селекторов с 1 как замкнутого класса равен ${\displaystyle 1}$, а как клона равен ${\displaystyle 0}$. Класс ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ двойственен классу ${\displaystyle U\cap T_{0}}$.

Селекторы

Селекторы образуют замкнутый класс ${\displaystyle M\cap L\cap T_{0}\cap T_{1}=M\cap L\cap S=M\cap L\cap S\cap T_{0}=M\cap L\cap S\cap T_{1}=M\cap L\cap S\cap T_{0}\cap T_{1}=U\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Обозначение Поста — ${\displaystyle R_{1}}$^[14]; Яблонский, Гаврилов и Кудрявцев используют обозначение ${\displaystyle O_{1}}$^[16]. Все функции этого класса являются селекторами, то есть имеют следующий вид:

• ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}}$.

Класс ${\displaystyle M\cap L\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle K\cap T_{0}\cap T_{1}}$, ${\displaystyle D\cap T_{0}\cap T_{1}}$, ${\displaystyle U\cap T_{0}}$, ${\displaystyle U\cap T_{1}}$ и в ${\displaystyle U\cap S}$. Предполный класс 1: ${\displaystyle \varnothing }$^[2]. Минимальных клонов нет вообще. Базис ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ как замкнутого класса: ${\displaystyle \{x\}}$^[12]; базис ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ как как клона: ${\displaystyle \varnothing }$. В ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ все функции являются шефферовыми.

Система функций является базисом в ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ как замкнутого класса тогда и только тогда, когда она состоит из одной функции класса ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Система функций является базисом ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ как клона тогда и только тогда, когда она является пустым множеством. Функций в базисе как замкнутого класса всегда ровно 1; функций в базисе как клона всегда ровно 0. Порядок класса селекторов как замкнутого класса равен ${\displaystyle 1}$, а как клона равен ${\displaystyle 0}$. Класс ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$ самодвойственен.