Псевдопростое число

Псевдопростое число — натуральное число, обладающее некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

Существование псевдопростых является препятствием для тестов простоты, пытающихся использовать те или иные свойства простых чисел для определения простоты данного числа.

Псевдопростые Ферма

Основная статья: Псевдопростые числа Ферма

Составное число n называется псевдопростым Ферма по основанию a, если a и n взаимно просты и ${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$.^[1]

Псевдопростые Ферма по основанию 2 образуют последовательность:

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, … (последовательность A001567 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, … (последовательность A005935 в OEIS)

Число, являющееся псевдопростым Ферма по каждому взаимно простому с ним основанию, называется числом Кармайкла.

Псевдопростые Эйлера — Якоби

См. также: Тест Соловея — Штрассена

Нечётное составное число n называется псевдопростым Эйлера — Якоби по основанию a, если оно удовлетворяет сравнению^[2]

${\displaystyle a^{(n-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}},}$

где ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ — символ Якоби. Так как из этого сравнения следует, что ${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}},}$ то всякое псевдопростое Эйлера — Якоби также является псевдопростым Ферма (по тому же основанию).

Псевдопростые Эйлера — Якоби по основанию 2 образуют последовательность:

561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, 3277, 4033, 4681, 6601, 8321, 8481, 10585, … (последовательность A047713 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, 8401, 8911, 10585, 12403, 15457, 15841, … (последовательность A048950 в OEIS)

Псевдопростые Фибоначчи

Основная статья: Псевдопростое число Фибоначчи

Псевдопростые Люка

Основная статья: Псевдопростое число Люка

Псевдопростые Перрина

Основная статья: Псевдопростое число Перрина

Составное число q называется псевдопростым Перрина, если оно делит q-е число Перрина P(q), задаваемое рекуррентным соотношением:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

и

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) for n > 2.

Псевдопростые Фробениуса

Основная статья: Псевдопростое число Фробениуса

Псевдопростое число, прошедшее трёхшаговый тест принадлежности к возможно простым числам, разработанный Джоном Грантамом (Jon Grantham) в 1996-м году.^[3][4]

Псевдопростые Каталана

Нечётное составное число n, удовлетворяющее сравнению

${\displaystyle (-1)^{\frac {n-1}{2}}\cdot C_{\frac {n-1}{2}}\equiv 2{\pmod {n}},}$

где C_m — m-ое число Каталана. Сравнение верно для любого нечётного простого числа n.

Известно только три псевдопростых чисел Каталана: 5907, 1194649, и 12327121 (последовательность A163209 в OEIS), причём два последних из них являются квадратами простых чисел Вифериха. В общем случае, если p — простое число Вифериха, то p² — псевдопростое Каталана.

См. также

• Тест Соловея — Штрассена
• Тест Миллера — Рабина
• Сильное псевдопростое число
• Псевдопростые числа Ферма