Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$ есть непрерывное отображение ${\displaystyle f:A\to B}$ такое, что индуцированные отображения ${\displaystyle f_{n}:\pi _{n}(A,a_{0})\to \pi _{n}(B,b_{0})}$ биективны при всех ${\displaystyle n\geq 1}$ для некоторой (а значит для любой) пары точек ${\displaystyle b_{0}=f(a_{0})}$.

Свойства

• Существование слабой гомотопической эквивалентности ${\displaystyle A\to B}$, вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности ${\displaystyle B\to A}$.

• Изоморфность групп ${\displaystyle \pi _{n}A}$ и ${\displaystyle \pi _{n}B}$ вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности ${\displaystyle A\to B}$.

• Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.^[1]