Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).^[1]

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A}$ отображает всё банахово пространство ${\displaystyle E}$ на всё банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$, обратный оператору ${\displaystyle A}$, отображающий ${\displaystyle E_{1}}$ на ${\displaystyle E}$.^[2]

Следствия

Теорема об открытом отображении

Основная статья: Теорема об открытом отображении

Линейное непрерывное отображение ${\displaystyle A}$ банахова пространства ${\displaystyle E}$ на всё банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ открыто.[3]

Лемма о тройке

Пусть ${\displaystyle E,E_{1},E_{2}}$ — банаховы пространства и ${\displaystyle A\colon E\to E_{1}}$, ${\displaystyle B\colon E\to E_{2}}$ — линейные непрерывные операторы, причем ${\displaystyle B}$ отображает ${\displaystyle E}$ на всё ${\displaystyle E_{2}}$ (то есть ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,B=E_{2}}$). Если при этом ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,}$ то существует такой линейный непрерывный оператор ${\displaystyle C\colon E_{2}\to E_{1}}$, что ${\displaystyle A=CB}$.

Здесь ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,A}$ — ядро, ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ — образ оператора ${\displaystyle A}$. Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:^[4]

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}}$