Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, формулирующая достаточные условия единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Формулировка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle {\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}})}$, где ${\displaystyle t}$ - независимая скалярная переменная, ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})}$ - вектор,${\displaystyle {\vec {f}}(t,{\vec {y}})=(f_{1}(t,{\vec {y}}),...,f_{n}(t,{\vec {y}}))}$, - векторная функция вектора ${\displaystyle {\vec {y}}}$ и скаляра ${\displaystyle t}$, знак ${\displaystyle {\dot {y}}}$ означает производную ${\displaystyle y}$ по ${\displaystyle t}$.

Если все функции ${\displaystyle f_{i}(t,{\vec {y}})}$, ${\displaystyle i=1,...n}$ для любой пары точек ${\displaystyle (t,{\vec {y_{1}}})}$ и ${\displaystyle (t,{\vec {y_{2}}})}$ в области ${\displaystyle G}$ удовлетворяют условию:

${\displaystyle \left|f_{i}(t,{\vec {y_{2}}})-f_{i}(t,{\vec {y_{1}}})\right|\leqslant \varphi (\sum _{\mu =1}^{n}\left|y_{{2}{\mu }}-y_{{1}{\mu }}\right|)}$ (1),

где непрерывная функция ${\displaystyle \varphi (u)>0}$ при ${\displaystyle u>0}$ такова, что ${\displaystyle \int _{\varepsilon }^{a}{\frac {du}{\varphi ((u)}}\rightarrow \infty }$ когда ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow +0}$, то через каждую точку области ${\displaystyle G}$ проходит не более одной интегральной кривой уравнения ${\displaystyle {\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}})}$.^[1][2]

Пояснения

Областью ${\displaystyle G}$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка ${\displaystyle G}$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество ${\displaystyle G}$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри ${\displaystyle G}$^[3].

В качестве функций ${\displaystyle \varphi (u)}$ могут использоваться функции ${\displaystyle Ku}$, ${\displaystyle Ku\left|\ln u\right|}$, ${\displaystyle Ku\left|\ln u\right|\ln \left|\ln u\right|}$, ${\displaystyle Ku\left|\ln u\right|\ln \left|\ln u\right|\ln \ln \left|\ln u\right|}$ и т.п. Наиболее часто в этой теореме принимают ${\displaystyle \varphi (u)=Ku}$. В этом случае условие (1) принимает вид условия Липшица по ${\displaystyle y}$:^[4]

${\displaystyle \left|f_{i}(t,{\vec {y_{2}}})-f_{i}(t,{\vec {y_{1}}})\right|\leqslant K\sum _{\mu =1}^{n}\left|{\vec {y_{{2}{\mu }}}}-{\vec {y_{{1}{\mu }}}}\right|}$,

Известны обобщения этой теоремы^[5].

См. также

• Теорема Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения