Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.^[1]

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУ^[2][3][4][5], учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов^[6]. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.^[6]

На теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров основан использующийся во всех приложениях теории дифференциальных уравнений метод приближённого решения уравнений, близких к уравнениям, для которых решение известно точно (теория возмущений).^[2]

Формулировка

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})}$

(1)

где ${\displaystyle t}$ — независимая скалярная переменная, ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})}$ — вектор, ${\displaystyle {\vec {\mu }}=(\mu _{1},...,\mu _{m})}$ — вектор, ${\displaystyle {\vec {f}}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})=(f_{1}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }}),...,f_{n}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }}))}$, — векторная функция вектора ${\displaystyle {\vec {y}}}$, вектора ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ и скаляра ${\displaystyle t}$, знак ${\displaystyle {\dot {y}}}$ означает производную ${\displaystyle y}$ по ${\displaystyle t}$.

Если все функции ${\displaystyle f_{i}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})}$, ${\displaystyle i=1,...n}$ и все их частные производные до ${\displaystyle p}$-го ${\displaystyle (p\geqslant 1)}$ порядка по всем ${\displaystyle y_{i}}$ и ${\displaystyle \mu _{k}}$ непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка ${\displaystyle (t,{\vec {y}})}$ находится в области ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle \left|\mu _{k}\right|<C,k=1,...,m}$, где ${\displaystyle C}$ — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки ${\displaystyle (t_{0},{\vec {y_{0}}})}$ области ${\displaystyle G}$ можно указать такой интервал ${\displaystyle (a,b)}$, заключающий внутри себя точку ${\displaystyle t_{0}}$, что при всех рассматриваемых ${\displaystyle \mu _{k}}$ на нём существует одна и только одна система функций

${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {\varphi }}(t,{\vec {\mu }})\,,}$

которые удовлетворяют системе (1), имеют непрерывные производные до ${\displaystyle p}$-го порядка по всем ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ и при ${\displaystyle t=t_{0}}$ обращаются в ${\displaystyle {\vec {y_{0}}}}$. Эта теорема остаётся верной и для ${\displaystyle p=0}$, если функции ${\displaystyle {\vec {f}}}$ удовлетворяют условию Липшица по ${\displaystyle {\vec {y}}}$ с коэффициентом, не зависящим от ${\displaystyle \mu }$.^[7]

Пояснения

Областью ${\displaystyle G}$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка ${\displaystyle G}$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество ${\displaystyle G}$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного

числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри ${\displaystyle G}$. ^[8]