Характер представления группы

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении^[1][2].

Обычно обозначаются буквой ${\displaystyle \chi }$^[3].

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Определение

Если ${\displaystyle f}$ — конечномерное представление группы ${\displaystyle G}$, то характер этого представления — это функция из ${\displaystyle G}$ во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу ${\displaystyle G}$. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

• Характеры эквивалентных представлений совпадают^[2].
• Изоморфные представления имеют одинаковые характеры^[4].
• Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций^[2][5].
• Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице^[2].
• Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются^[2][4].
• Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны^[2][6].
• Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы^[7].
• У взаимно-сопряжённых элементов группы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b^{-1}ab}$ характеры равны^[7].
• Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов^[7].
• Для любого элемента группы ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \chi (a^{-1})={\overline {\chi (a)}}}$^[8].
• Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен ${\displaystyle 1}$^[9].