Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:
где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных и непустое компактное множество в пространстве Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.
Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).
Рассмотрим управляемую систему
где есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив . При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения включения (*) существует такое допустимое управление что функция будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.
Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.
Контингенцией вектор-функции в точке называется множество всех предельных точек последовательностей
Паратингенцией вектор-функции в точке называется множество всех предельных точек последовательностей
Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции в точке множество состоит из двух точек: а множество является отрезком
Вообще, всегда . Если существует обычная производная то а если обычная производная существует в некоторой окрестности точки и непрерывна в самой этой точке, то .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.