Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

Функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)}$ области определения функции ${\displaystyle f}$, который удовлетворяет условию ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta }$, выполнено неравенство ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon }$^[1].

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства

• Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.

• Абсолютно непрерывные функции образуют линейное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.

• Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.

• Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.

• Пусть ${\displaystyle F}$ абсолютно непрерывная функция на ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная ${\displaystyle F'}$ интегрируема по Лебегу и для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$ выполняется равенство:

  ${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)}$.

• Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.

• Если функция ${\displaystyle f(x)}$ абсолютно непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle F(y)}$ абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения ${\displaystyle f(x)}$, то для того, чтобы суперпозиция ${\displaystyle F[f(x)]}$ была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).

• Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.
• Вариация ${\displaystyle V_{a}^{x}(f)}$ абсолютно непрерывной функции ${\displaystyle f}$ является абсолютно непрерывной.
• Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ абсолютно непрерывны на ${\displaystyle [a,b]}$, тогда для них справедлива классическая формула интегрирования по частям.
• Пусть ${\displaystyle f}$ дифференцируема в каждой точке отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ (важно! что именно в каждой точке), причем ${\displaystyle f'}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$ в смысле Лебега, тогда ${\displaystyle f}$ абсолютно непрерывна.

Примеры

• Любая липшицева функция является абсолютно непрерывной.

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

• функция Кантора;
• функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

на конечных интервалах, содержащих 0;

• функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на неограниченных интервалах.

См. также

• Свойство Лузина
• Теорема Фихтенгольца