Loading AI tools
Пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной Из Википедии, свободной энциклопедии
Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением
где — произвольное нечётное число, не равное единице, а — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения
имеют разные знаки по крайней мере при
Указанные последовательности могут быть определены как
где — ближайшее целое число к .
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях
В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[англ.][3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:
однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году[4].
В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию и представил строгое доказательство её недифференцируемости[5]. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона[6].
Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):
где фигурные скобки означают взятие дробной части[7].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.