Lorenzov atraktor

Lorenzov atraktor je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sustava (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao lijepim^{[nedostaje referenca]}.

Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, β = 8/3

Trajektorija Lorenzovih jednadžbi, renderirana kao metalna žica kako bi se naznačio smjer i trodimenzionalna struktura

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednadžbi Zemljine atmosfere.^[1]

Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano čudnim atraktorom. Čudni atraktor je u ovom slučaju fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama .

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y}$

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z}$

gdje se ${\displaystyle \sigma }$ zove Prandtlovim brojem i ${\displaystyle \rho }$ Rayleighjevim brojem. Svi su ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \beta }$ > 0, ali je obično ${\displaystyle \sigma }$ = 10, ${\displaystyle \beta }$ = 8/3 i ${\displaystyle \rho }$ varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za ${\displaystyle \rho }$ = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od ${\displaystyle \rho }$. Primjerice, uz ${\displaystyle \rho =99.96}$ postaje T(3,2) torusni čvor.

Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru

Učinak leptira
Vrijeme t=1 (povećano)	Vrijeme t=2 (povećano)	Vrijeme t=3 (povećano)
Ovi oblici - načinjeni uz ρ=28, σ = 10 i β = 8/3 - pokazuju tri vremenska segmenta 3-D evolucije dvaju trajektorija (jedne plavo, druge žuto obojeane) u Lorenzovom atraktoru počinjući od inicijalnih točaka koje se razlikuju svega za 10-5 u x koordinati. U početku se dvije trajektorije podudaraju (vidi se samo žuta, jer je iscrtana preko plave) ali, nakon nekog vremena, očito divergiraju.
Java animacija Lorenzovog atraktora Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u pokazuje kontinuiranu evoluciju.

Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj

Lorenzov atraktor za različite vrijednosti ρ
ρ=14, σ=10, β=8/3 (povećano)	ρ=13, σ=10, β=8/3 (povećano)
ρ=15, σ=10, β=8/3 (povećano)	ρ=28, σ=10, β=8/3 (povećano)
Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i evolvira u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
Java animacija koja prikazuje evoluciju za različite vrijednosti ρ Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u

Povezano

• Popis kaotičnih preslikavanja
• Takensov theorem
• Mandelbrot

Izvori

• Lorenz, E. N. (1963). „Deterministic nonperiodic flow」. J. Atmos. Sci. 20: 130-141. DOI:10.1175/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2.
• Frøyland, J., Alfsen, K. H. (1984). „Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model」. Phys. Rev. A 29: 2928–2931.
• Tucker, W. (2002). „A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem」. Found. Comp. Math. 2: 53-117.
• Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing.
• Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.
• P. Grassberger and I. Procaccia (1983). „Measuring the strangeness of strange attractors」. Physica D 9: 189-208. DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1.