Neutral (matematika)

U matematici, neutral (ili neutralni element) je posebna vrsta elementa nekog skupa u odnosu na binarnu operaciju na tom skupu. Neutral se odlikuje time što druge elemente skupa ostavlja nepromenjenim kada se sa njima kombinuje u toj operaciji. Neutrali se koriste u grupama i povezanim konceptima.

Neka je (S,*) skup S sa binarnom operacijom * definisanom na sebi. Tada se element e skupa S naziva levi neutral ako e * a = a za svako a iz S, a desni neutral ako a * e = a za svako a iz S. Ako je e ujedno i levi i desni neutral, onda se naziva dvostranim neutralom, ili prosto neutralom.

Neutral u odnosu na sabiranje se naziva aditivnim neutralom (često se označava sa 0) a neutral u odnosu na množenje se naziva multiplikativni inverz (često se označava sa 1). Ova razlika se obično koristi za skupove koji imaju obe ove binarne operacije, kao što su prsteni.

Primeri

skup	operacija	neutral
realni brojevi	+ (sabiranje)	0
realni brojevi	• (množenje)	1
realni brojevi	ab (stepenovanje)	1 (samo desni neutral)
m-sa-n matrica	+ (sabiranje)	nula matrica
n-sa-n kvadratne matrice	• (množenje)	jedinična matrica
sve funkcije iz skupa M u samog sebe	∘ (kompozicija funkcija)	identiteta
sve funkcije iz skupa M u samog sebe	* (konvolucija)	δ (Dirakova delta)
niske karaktera, liste	konkatenacija	prazna niska, prazna lista
prošireni realni brojevi	minimum/infinum	+∞
prošireni realni brojevi	maksimum/supremum	-∞
podskupovi skupa M	∩ (presek)	M
skupovi	∪ (unija)	{ } (prazan skup)
Bulova logika	∧ (logičko i)	⊤ (tačno)
Bulova logika	∨ (logičko ili)	⊥ (netačno)
samo dva elementa {e, f}	* definisana kao e * e = f * e = e and f * f = e * f = f	i e i f su levi neutrali, ali ne postoji desni ili dvostrani neutral

Kao što poslednji primer pokazuje, moguće je da ${\displaystyle \left(S,\cdot \right)}$ ima više levih neutrala. U stvari, svaki element može biti levi neutral. Slično, može biti više desnih neutrala. Međutim, ako postoji i lesni neutral i levi neutral, onda su jednaki i postoji samo jedan dvostrani neutral. Da bi se ovo videlo, uočimo da ako je ${\displaystyle l}$ levi neutral, a ${\displaystyle r}$ desni, onda ${\displaystyle l=l\cdot r=r}$. Specijalno, nije moguće da postoji više od jednog dvostranog neutrala. Kada bi postojala dva, ${\displaystyle e}$ i f, onda ${\displaystyle e\cdot f}$ bi moralo da bude jednako i ${\displaystyle e}$ i ${\displaystyle f}$.

Povezano

• Inverz
• Aditivni inverz
• Monoid