Pravilni poliedri

Pravilni poliedri (ili platonska čvrsta tela) su pravilni konveksni poliedri čije su zajedničke karakteristike:

• Svaki pravilni poliedar je omeđen površima istog oblika
• Ove površi su pravilni mnogoulgovi,
• Iz svakog temena jednog pravilnog poliedra polazi jednak broj ivica,
• Jedan pravilni poliedar se ne može dobiti spajanjem više drugih

„Kocke「 u obliku pravilnih poliedara. Koriste se za dobijanje slučajnih brojeva u određenom opsegu

Ovih geometrijskih tela ima svega pet:

1. tetraedar,
2. heksaedar (kocka),
3. oktaedar,
4. dodekaedar i
5. ikosaedar.

Površina poliedra

Površina geometrijskog tijela je ukupna površina svih ploha koje ga omeđuju. Površina poliedra je zbir površina svih njegovih strana.

Prizma

B – površina baze

P – površina strane,

o –obim baze

v – dužina visine

${\displaystyle P==2B+P}$

Za uspravnu prizmu vrijedi

${\displaystyle P=2B+ov.}$

Piramida

B – površina baze

P – površina strane

v – dužina visine

${\displaystyle P=B+P}$

Krnja piramida

${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$ – povrsine baza

P – površina strana

v – dužina visine

${\displaystyle P=B_{1}+B_{2}+P}$

Zapremina

Zapremina geometrijskog tijela je mjera prostora kojeg tijelo zauzima.

Prizma

${\displaystyle V=Bv}$

Piramida

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bv}$

Krnja piramida

${\displaystyle V={\frac {v}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}$

Pet pravilnih poliedara

Pet pravilnih poliedara
Ime	Tetraedar	Heksaedar ili Kocka	Oktaedar	Dodekaedar	Ikosaedar
Slika	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)	(Animacija)
Razmotana figura
Površi	4 trougla	6 kvadrata	8 trouglova	12 petouglova	20 trouglova
Broj ivica/temena	6 / 4	12 / 8	12 / 6	30 / 20	30 / 12
Broj ivica u jednom temenu	3	3	4	3	5

Kocka

Kocka je pravilna četverostrana prizma. Spada u paralelepipede. Sastoji se od šest podudarnih kvadrata, njenih strana. Ima 12 ivica i 8 vrhova.

Formule

Zapremina ${\displaystyle V=a^{3}}$

Površina ${\displaystyle P=6a^{2}}$

Manja dijagonala ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$

Prostorna dijagonala ${\displaystyle D=a{\sqrt {3}}}$

Radijus upisane sfere ${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}}$

Radijus opisane sfere ${\displaystyle r_{o}={\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}}$

Oktaedar

Oktaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa osam međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostranicnih trouglova i raspoređene su tako da tijelo ima dvanaest ivica i sest tjemena.

Oktaedar se još može opisati i kao jednakostranična četvrostrana bipiramida i kao jednakostranična linearna antiprizma.

Formule

Zapremina ${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}}$

Površina ${\displaystyle P=2{\sqrt {3}}a^{2}}$</math>

Poluprečnik upisane sfere ${\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a}$

Poluprečnik opisane sfere ${\displaystyle r_{o}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a}$

Ikosaedar

Ikosaedar je omeđen sa dvadeset međusobno podudarnih površi koje imaju oblik jednakostraničnih trouglova. Raspoređene su tako da tijelo ima trideset ivica i dvanaest tjemena.

Formule

1. Površina ${\displaystyle P=5{\sqrt {3}}a^{2}}$
2. Zapremina${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a^{3}}$
3. Poluprečnik upisane sfere ${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}$
4. Poluprečnik upisane sfere${\displaystyle r_{o}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

Dodekaedar

Dodekaedar je geometrijsko tijelo omeđeno sa dvanest međusobno podudarnih površi koje imaju oblik

Formule

Površina ${\displaystyle P=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,a^{2}}$

Zapremina ${\displaystyle V={\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}}$

Poluprečnik upisane sfere |${\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {5}}{20}}{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\,a}$

Poluprečnik opisane sfere ${\displaystyle r_{o}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\,a}$

Tetraedar

Tetraedar je geometrijsko tijelo koga ograničavaju četiri trougaone površi i, koje zajedno sa dijelom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju tijelo sa četiri tjemena i šest ivica.

Naziv se u koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi podudarni jednakostranični trouglovi.

Formule

Površina ${\displaystyle P={\sqrt {3}}a^{2}}$

Zapremina ${\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 12}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}}$

Poluprečnik opisane sfere ${\displaystyle r_{o}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a\approx 0{,}61\,a}$

Poluprečnik upisane sfere ${\displaystyle r_{u}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{12}}\,a\approx 0{,}20\,a}$

Visina ${\displaystyle h=r_{o}+r_{u}\,=\,{\frac {\sqrt {6}}{3}}\,a\,=\,{\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\approx 0{,}82\,a}$

Ugao između ivice i površi ${\displaystyle arctg{\sqrt {2}}\approx 55^{\circ }}$

Ugao između dvije površi ${\displaystyle \arccos {1/3}=arctg2{\sqrt {2}}\approx 71^{\circ }}$

Pravilni poliedri na Wikimedijinoj ostavi