Pravilo derivacije složene funkcije

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

Definicija

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,}$

koje se kraće piše u formi ${\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'}$.

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}$

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Primjeri

Primjer I

Razmotrimo ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}$. Imamo ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ gdje je ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ i ${\displaystyle h(x)=x^{3}.}$ Zbog toga,

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}$
	${\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}$

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}$

možemo pisati ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ sa ${\displaystyle h(x)=\sin x}$ i ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$. Tada dobijamo

${\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}$

pošto je ${\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}$ i ${\displaystyle g'(x)=2x}$.

Primjer II

Difercencirajmo ${\displaystyle \arctan \,\sin \,x}$, itd.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}$

Povezano

• Pravilo inverzne derivacije složene funkcije
• Pravilo derivacije trostrukog proizvoda
• Derivacija