Eugène Charles Catalan

Eugène Charles Catalan, belgijski matematik, * 30. maj 1814, Brugge (Bruges), Belgija, † 14. februar 1894, Liege, Belgija.

Eugène Charles Catalan
Eugène Charles Catalan
Rojstvo	Eugène Charles Bardin[1] 30. maj 1814({{padleft:1814|4|0}}-{{padleft:5|2|0}}-{{padleft:30|2|0}})[2][3][…] Brugge, Prvo francosko cesarstvo[4]
Smrt	14. februar 1894({{padleft:1894|4|0}}-{{padleft:2|2|0}}-{{padleft:14|2|0}})[2][5][…] (79 let) Liège, Belgija[4]

Življenje in delo

Catalan je študiral na École Polytechnique skupaj z Liovillom, leta 1833 se je izpisal, leta 1834 odšel v Châlons-sur-Marne in leta 1835 dokončal študij. Z Liovillovo pomočjo je leta 1838 dobil učiteljsko mesto za opisno geometrijo na École Polytechnique. Deloval je tudi na političnem področju.

Največ je objavljal s področja teorije števil, verižnih ulomkov, opisne geometrije in kombinatorike. Leta 1838 je določil števila, ki se imenujejo po njem Catalanova števila, pri reševanju problema načina delitve sklenjenih konveksnih mnogokotnikov na trikotnike z diagonalami, ki se ne sekajo med seboj. Prvi je rešil problem Segner, čeprav njegova rešitev ni bila tako lepa kot Catalanova. Tudi Euler se je kot Binet ukvarjal s poenostavitvijo tega problema skoraj istočasno kot Catalan. Zaporedje Catalanovih števil je določeno neposredno z binomskimi koeficienti:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.}$

Med drugim Catalanova števila določajo število načinov delitve mnogokotnikov z n + 2 stranicami na n trikotnikov, število načinov postavitve oklepajev v zaporedju števil, ki se jih množi po dva skupaj, število korenskih, trivalentnih dreves z n + 1 točkami in število poti dolžine 2n skozi kvadratno mrežo m × m, ki se ne dvignejo preko glavne diagonale. Catalanova števila so v tesni zvezi s Pascalovim aritmetičnim trikotnikom binomskih koeficientov ${\displaystyle {n \choose r}}$ oziroma s Pascalovo matriko:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}}\;.}$

Števila središčne diagonale Pascalove matrike so določena s središčnimi binomskimi koeficienti:

${\displaystyle {2n \choose n}\!\,,}$

števila na sosednjih diagonalah pa z:

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}{2n \choose n+1}\!\,.}$

Razlike števil obeh diagonal dajo Catalanova števila:

${\displaystyle n\;\,}$	${\displaystyle {2n \choose n}}$	${\displaystyle {2n \choose n+1}}$	${\displaystyle C_{n}\;\,}$
0	1	0	1
1	2	1	1
2	6	4	2
3	20	15	5
4	70	56	14
5	252	210	42
6	924	792	132
7	3432	3003	429
8	12870	11440	1430
9	48620	43758	4862
10	184756	167960	16796
11	705432	646646	58786
12	2704156	2496144	208012
13	10400600	9657700	742900
14	40116600	37442160	2674440
15	155117520	145422675	9694845
16	601080390	565722720	35357670
17	2333606220	2203961430	129644790
18	9075135300	8597496600	477638700
19	35345263800	33578000610	1767263190
20	137846528820	131282408400	6564120420
21	538257874440	513791607420	24466267020

Uvedel je Catalanovo konstanto določeno z vrsto:

${\displaystyle C_{a}\equiv G=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(2i+1)^{-2}=\beta (2)\cong 0,915965594\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \beta (2)}$ Dirichletova funkcija β. Leta 1844 je objavil Catalanovo domnevo. V opisni geometriji je uvedel periodično minimalno ploskev v prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ki jo je odkril leta 1855.

Izbrana dela

• Elements de géométrie» (1843 in 1867),
• Traité élémentaire de géométrie descriptive (1852 in 1879),
• Traité élémentaire des series (1860),
• Cours d’analyse de l’Université de Liège (1870 in 1879),
• Recherches sur quelques produits infinis (1873),
• Sur des Formules relatives aux intégrales eulériennes (1885),
• Manuel de mécanique (1887).