Gaussov problem o krogu

Gaussov problem o krogu v je v matematiki nerešeni problem določitve števila mrežnih točk znotraj kroga s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r. Prvi korak pri rešitvi je naredil Carl Friedrich Gauss in po njem se problem tudi imenuje.

Opredelitev problema

Naj je krog v ravnini (R²) s središčem v koordinatnem izhodišču in polmerom r ≥ 0. Gaussov problem o krogu sprašuje koliko točk oblike (m,n) leži znotraj tega kroga, kjer sta m in n celi števili. Ker je enačba kroga dana v kartezičnih koordinatah z x² + y² = r², je vprašanje enakovredno vprašanju koliko takšnih parov celih števil m in n obstaja, da velja:

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}\!\,.}$

Če se za dani r označi rešitev z N(r), je prvih deset vrednosti za N(r) za celi r med 0 in 10 (OEIS A000328):

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.

Meje rešitve in domneva

Ploščina kroga s polmerom r je dana s πr². Ker kvadrat s ploščino 1 v R² vsebuje eno celo točko, bo pričakovana rešitev približno πr². Dejansko bo malo višja, ker krogi bolj učinkovito zapolnjujejo prostor kot kvadrati. Lahko se pričakuje vrednost:

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\!\,,}$

kjer E(r) določa napako. Iskanje pravilne zgornje meje za E(r) je tako vsebina problema.

Gauss je dokazal, da velja:

${\displaystyle {\frac {|E(r)|}{r}}\leq 2{\sqrt {2}}\pi =8,885765\ldots \!\,.}$ ^[1]

Hardy in neodvisno od njega Landau sta našla spodnjo mejo in pokazala, da velja:^[2]

${\displaystyle E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right)\!\,,}$

kjer je o-zapis Landauov simbol. Domnevajo, da je pravilna spodnja meja enaka:

${\displaystyle E(r)={\mathcal {O}}\left(r^{1/2+\varepsilon }\right)\!\,}$

za vsak ${\displaystyle \varepsilon >0}$.^[3]

Če se piše:

${\displaystyle {\frac {|E(r)|}{r^{t}}}\leq C\!\,,}$

sta trenutni meji za t:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0,629807\ldots \!\,,}$

kjer je spodnja meja Hardyjeva in Landauova iz leta 1915; zgornjo mejo pa je dokazal Huxley leta 2000.^[4]

Sylvain Cappell in Julius Shaneson sta leta 2007 v arXiv oddala članek, v katerem sta trdila, da sta dokazala mejo za O(r^1/2+ε).^[5]

Točni izrazi

Vrednost N(r) se lahko poda z več vrstami. S členi vsote funkcije celi del se jo lahko zapiše kot:^[6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right)\!\,.}$

Preprostejšo vsoto se dobi, če se definira aritmetično funkcijo vsote kvadratov r₂(n), kot število načinov zapisa števila n z vsotama dveh kvadratov vključno z ničlami. Tako je:^[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)\!\,.}$

Prve vrednosti za r, za katere je ${\displaystyle N(r)/r^{2}>\pi }$, so (OEIS A093832):

1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 35, 51, 52, 85, 100, 230, ...

Posplošitve

Problem so posplošili tudi na stožnice, elipsoide in več razsežnosti. Dirichletov problem deliteljev je enakovredni problem za pravokotno hiperbolo.

Primitivni problem o krogu

Druga posplošitev je določitev števila tujih celoštevilskih rešitev m, n enačbe:

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}\!\,.}$

Ta problem je znan kot primitivni problem o krogu, saj vsebuje iskanje primitivnih rešitev izvirnega problema o krogu.^[7] Če se označi število takšnih rešitev z V(r), so njihove vrednosti za celoštevilski r od 0 do 6:

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72.

S pomočjo idej običajnega Gaussovega problema o krogu in dejstva, da je verjetnost, da sta dve celi števili tuji, enaka 6/π², se lahko pokaže, da velja:

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon })\!\,.}$

Kot pri običajnem problemu o krogu je problematičen del primitivnega problema o krogu zmanjšanje eksponenta za člen napake. Trenutno je najboljši znani eksponent enak 221/304 + ε, s privzetkom, da je Riemannova domneva pravilna.^[7] Na drugi strani niso dokazali nobenega drugega eksponenta manj od 1 brez omejitev.^[8]