Pascalov polž

Pascalov polž (tudi samo polž) je vrsta rulete, ki nastane takrat, ko se krožnica zavrti po zunanji strani enako velike krožnice. Te vrste krivulj spadajo v družino središčnih trohoid oziroma med epitrohoide. Po obliki lahko imajo notranje ali zunanje zanke, lahko imajo obliko srca ali celo ovala. Pascalov polž je dvokrožna racionalna algebrska ravninska krivulja s stopnjo 2.

Nastanek Pascalovega polža.

Prvi je proučeval krivuljo polž francoski matematik Étienne Pascal (1623 – 1662), oče znanega francoskega matematika, filozofa in fizika Blaisa Pascala (1623 – 1662).

Trije polži: samo z jamico (vboklino), s konico (srčnica) in z zanko.

Pascalov polž v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba Pascalovega polža:

${\displaystyle r=b+a\cos \theta \!\,.}$

Pascalov polž v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})\!\,.}$

Pascalov polž v parametrični obliki

Parametrična oblika enačbe Pascalovega polža je:

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+b\cos \theta +{\frac {a}{2}}\cos 2\theta ,\,y=b\sin \theta +{\frac {a}{2}}\sin 2\theta \!\,.}$

Pascalov polž v kompleksni ravnini

V kompleksni ravnini enačba Pascalovega polža zavzame obliko:

${\displaystyle z={\frac {a}{2}}+be^{i\theta }+{\frac {a}{2}}e^{2i\theta }\!\,.}$

Če se jo premakne vodoravno za ${\displaystyle a/2\,}$, se dobi običajno obliko središčne trohoide:

${\displaystyle z=be^{it}+{\frac {a}{2}}e^{2it}\!\,.}$

Povezave z drugimi krivuljami

• naj bo ${\displaystyle P\,}$ točka in ${\displaystyle C\,}$ naj bo krožnica katere središče ni ${\displaystyle P\,}$. V tem primeru je ovojnica teh krožnic, katerih središča ležijo na krivulji ${\displaystyle C\,}$ in gredo skozi ${\displaystyle P\,}$ Pascalov polž.
• nožiščna krivulja krožnice je Pascalov polž.
• konhoida krožnice glede na točko na krožnici je Pascalov polž
• posebni primer Desartesovega ovala je Pascalov polž
• Pascalov polž je epitrohoida, če imata vrteča se in negibna krožnica enake polmere.^[1]
• Pascalov polž je katakavstika krožnice za žarke, ki prihajajo iz točke, ki je na končni razdalji od oboda.^[2]