Poddeterminanta

Poddeterminanta (tudi minor) (oznaka ${\displaystyle M_{ij}\,}$) matrike ${\displaystyle A\,}$ je determinanta, ki pripada kvadratni matriki, ki jo dobimo iz matrike ${\displaystyle A\,}$ tako, da v tej matriki izbrišemo eno vrstico in en stolpec. Dobljeno poddeterminanto označimo z ${\displaystyle M_{ij}\,}$.

Kadar v kvadratni matriki ${\displaystyle n\times n\,}$ brišemo i-to vrstico in j-ti stolpec, dobimo matriko z razsežnostjo ${\displaystyle n-1\times n-1\,}$. Če brišemo samo po en stolpec in eno vrstico, dobimo prvo poddeterminanto (tudi prvi minor), če pa brišemo po dve vrstici in dva stolpca, pa dobimo drugo poddeterminanto (tudi drugi minor) ^[1].

Povezava med kofaktorjem in poddeterminanto

Kofaktor ${\displaystyle C_{ij}\,}$ kvadratne matrike ${\displaystyle A\,}$ je zmnožek števila ${\displaystyle (-1)^{i+j}\,}$ in pripadajoče poddeterminante ${\displaystyle M_{ij}\,}$, ki ima razsežnost ${\displaystyle n-1\times n-1\,}$

${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}.M_{ij}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle C_{ij}\,}$ kofaktor
• ${\displaystyle M_{ij}\,}$ poddeterminanta, ki nastane z brisanjem i-te vrstice in j-tega stolpca

Pri tem pa matriko z elementi ${\displaystyle C_{ij}\,}$ imenujemo matriko kofaktorjev. Transponirana matrika matrike kofaktorjev se imenuje adjungirana (prirejena) matrika.

Primer

Recimo, da imamo matriko

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}}$

Če hočemo določiti kofaktor ${\displaystyle C_{23}\,}$ moramo v determinanti izbrisati vrstico 2 in stolpec 3. To nam da za pripadajočo poddeterminanto, ki jo označimo z ${\displaystyle M_{23}\,}$, vrednost ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13}$.

Iz tega sledi, da je

${\displaystyle C_{23}=(-1)^{2+3}.M_{23}=-13\,}$.

Glavna poddeterminanta

Kadar je ${\displaystyle i=j\,}$, potem se poddeterminanta ${\displaystyle M_{ij}\,}$ imenuje glavna poddeterminanta matrike (glavni minor).