Integrali jo elementar

Në matematikë, një integrali i pacaktuar joelementar i një funksioni elementar të dhënë është një integral i pacaktuar që nuk është, në vetvete, një funksion elementar (d.m.th. një funksion i ndërtuar nga një numër i kufizuar herësish konstante, algjebrike, eksponenciale, trigonometrike dhe logaritmike . funksionet duke përdorur veprimet mbi fusha ). ^[1] Një teoremë nga Liouville në 1835 dha provën e parë se ekzistojnë integralet e pacaktuar jo-elementarë. ^[2] Kjo teoremë gjithashtu ofron një bazë për algoritmin Risch për përcaktimin (me vështirësi) se cilat funksione elementare kanë intelgrale të pacaktuara elementare.

Shembuj

Shembuj të funksioneve me integrale të pacaktuar jo-elementarë përfshijnë:

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$ ^[1] ( integral eliptik )
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$ ^[3] ( integrali logaritmik )
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ^[1] ( funksioni i gabimit, integrali gaussian )
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$ dhe ${\displaystyle \cos(x^{2})}$ ( Integrali Fresnel )
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$ ( integrali i sinusit, integral Dirichlet )
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$ ( integrali eksponencial )
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$ (në kufiza të integralit eksponencial)
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$ (përsa i përket integralit logaritmik)
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$ ( funksioni i paplotë gama ); për ${\displaystyle c=0,}$ integrali i pacaktuar mund të shkruhet në terma të integralit eksponencial; për ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$ për sa i përket funksionit të gabimit; për ${\displaystyle c=}$ çdo numër të plotë pozitiv, integrali i pacaktuar është elementar.