Operatori diferencial

Në matematikë, një operator diferencial është një operator i përcaktuar si funksion i operatorit të diferencimit . Është i dobishëm, si çështje shënimi, së pari, të konsiderohet diferencimi si një veprim abstrakt që pranon një funksion dhe kthen një funksion tjetër (në stilin e një funksioni të rendit më të lartë në shkencën kompjuterike ).

Një funksion harmonik i përcaktuar në një unazë . Funksionet harmonike janë pikërisht ato funksione që qëndrojnë në bërthamën e operatorit të Laplasit, një operator diferencial i rëndësishëm.

Ky artikull shqyrton kryesisht operatorët diferencialë linearë, të cilët janë lloji më i zakonshëm. Megjithatë, ekzistojnë edhe operatorë diferencialë jolinearë, siç është derivati Schwarzian .

Përkufizimi

Duke pasur parasysh një numër të plotë jonegativ m, një urdhër- ${\displaystyle m}$ operatori diferencial linear është një hartë ${\displaystyle P}$ nga një hapësirë funksioni ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ në një hapësirë tjetër funksioni ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ që mund të shkruhet si:$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$ku ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ është një multi-indeks i numrave të plotë jo negativë, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$, dhe për secilën ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ është një funksion në një fushë të hapur në hapësirë n -dimensionale. Operatori ${\displaystyle D^{\alpha }}$ interpretohet si$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$Kështu për një funksion ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$ :$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$Shënimi ${\displaystyle D^{\alpha }}$ është i justifikuar (dmth. i pavarur nga rendi i diferencimit) për shkak të simetrisë së derivateve të dyta.

Polinomi p përftohet duke zëvendësuar D me ndryshore ${\displaystyle \xi }$ në P quhet simboli total i P ; dmth, simboli total i P më sipër është:

$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ku ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$ Përbërësi më i lartë homogjen i simbolit, domethënë,

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

quhet simboli parësor i P. Ndërsa simboli total nuk është i përcaktuar në thelb, simboli parësor, në thelb, është i përcaktuar (d.m.th., është një funksion në paketën kotangjente). ^[1]

Në përgjithësi, le të jenë E dhe F grupe vektoriale mbi një shumëfish X . Pastaj operatori linear

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

është një operator diferencial i rendit ${\displaystyle k}$ nëse, në koordinatat vendore në X, kemi

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{termat e rendeve të ulta}}}$

ku, për çdo α multi-indekse, ${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$ është një hartë pako, simetrike në indekset α.

Koeficientët e rendit k të P- ^të shndërrohen si tensor simetrik

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

domeni i të cilit është prodhimi sipas tensorëve i fuqisë k ^- simetrike të paketës kotangjente të X me E, dhe kodomani i së cilës është F . Ky tensor simetrik njihet si simboli parësor (ose thjesht simboli ) i P .

Interpretimi Furier

Një operator diferencial P dhe simboli i tij shfaqen natyrshëm në lidhje me transformimin Furier si më poshtë. Le të jetë ƒ një funksion Schwartz . Pastaj nga transformimi i anasjelltë i Furierit,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$