Transformimi integral

Forma e përgjithshme

Një shndërrim integral është çdo shndërrim ${\displaystyle T}$ i formës së mëposhtme:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

Hyrja e këtij transformimi është një funksion ${\displaystyle f}$, dhe dalja është një funksion tjetër ${\displaystyle Tf}$ . Një transformim integral është një lloj i veçantë operatori matematikor.

Ka shumë transformime integrale të dobishme. Secili specifikohet nga një zgjedhje e funksionit ${\displaystyle K}$ të dy variablave, funksioni i bërthamës, bërthama integrale ose bërthama e transformimit. Në anglisht njihet me emrin kernel.

Disa bërtham kanë një bërthamë të anasjelltë (kernel invers) të lidhur ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$ i cila (përafërsisht) jep një transformim të anasjelltë:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

Një bërthamë simetrike është ajo që është e pandryshuar kur të vendet e ndryshoreve ndërrohen; është një funksion kernel ${\displaystyle K}$ sikurse ${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$ . Në teorinë e ekuacioneve integrale, bërthamat simetrike korrespondojnë me operatorët e vetë-bashkuar. ^[1]

Motivimi

Ka shumë klasa problemesh që janë të vështira për t'u zgjidhur - ose të paktën mjaft të koklavitura algjebrikisht - në paraqitjet e tyre origjinale. Një transformim integral "hartëzon" një ekuacion nga "fusha" e tij origjinale në një fushë tjetër, në të cilën manipulimi dhe zgjidhja e ekuacionit mund të jetë shumë më të lehta se sa në domenin origjinal. Zgjidhja më pas mund të rikthehet në fushën origjinale me inversin e transformimit integral.

Ka shumë aplikime të probabilitetit që mbështeten në transformime integrale, të tilla si "kerneli i çmimeve" ose faktori stokastik i zbritjes, ose zbutja e të dhënave të rikuperuara nga statistika të forta; shih kernel (statistika) .

Historia

Pararendësi i transformimeve ishin seritë Furier për të shprehur funksionet në intervale të fundme. Më vonë transformimi Thurje u zhvillua për të hequr kërkesën e intervaleve të fundme.

Duke përdorur serinë Fourier, pothuajse çdo funksion praktik i kohës ( voltazhi në terminalet e një pajisjeje elektronike për shembull) mund të përfaqësohet si një shumë e sinuseve dhe kosinuseve, secili i shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme (i shumëzuar me një faktor konstant), i zhvendosur (i përparuar ose i vonuar në kohë) dhe i "shtrydhur" ose i "shtrirë" (duke rritur ose ulur frekuencën). Sinuset dhe kosinuset në serinë Fourier janë një shembull i një baze ortonormale .

Shembull përdorimi

Si shembull i një aplikimi të transformimeve integrale, merrni parasysh transformimin e Laplasit . Kjo është një teknikë që hartëzon ekuacionet diferenciale ose integro-diferenciale në domenin "kohë" në ekuacione polinomiale në atë që quhet domeni i "frekuencës komplekse" . (Frekuenca komplekse është e ngjashme me frekuencën aktuale, fizike, por mjaft më e përgjithshme. Në mënyrë të veçantë, përbërësi imagjinar ω i frekuencës komplekse s = − σ + iω korrespondon me konceptin e zakonshëm të frekuencës ndërsa përbërësi real σ i frekuencës komplekse i korrespondon shkallës së "shuarjes", pra një ulje eksponenciale të amplitudës. ) Ekuacioni i hedhur në termat e frekuencës komplekse zgjidhet lehtësisht në fushën e frekuencës komplekse, duke çuar në një "zgjidhje" të formuluar në fushën e frekuencës. Duke përdorur transformimin e anasjelltë, dmth ., procedurën e anasjelltë të transformimit origjinal të Laplasit, merret zgjidhja në kohë.