Аналитичка геометрија

Аналитичка геометрија представља изучавање геометрије^[1]коришћењем принципа алгебре. Геометријске ликове посматра у дводимензионалном или тродимензионалном Декартовом координатном систему и представља их алгебарским једначинама. Другим речима, она дефинише геометријске облике на нумерички начин, и из такве репрезентације издваја нумеричке информације. Нумерички резултат може бити вектор или геометријски лик. Постоје мишљења да је појавом аналитичке геометрије започета модерна математика.^[2][3]

Елипсоид

Сматра се да је Рене Декарт објављивањем своје Геометрије, поставио основе данашњој аналитичкој геометрији. У питању је био један од три додатка његовој Расправи о методи (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, 1637) - трактату о научним методама, у коме он, на свега 116 страна, показује примену своје опште методе синтезе на примеру спајања алгебре и геометрије. Уједно, то је једино математичко дело које је објавио за живота.

Иако је пресудно утицала на развој аналитичке геометрије, у Декартовој Геометрији, онаквој каква је, нема неких њених основних елемената, као што су Декартове координате, једначина праве, једначине конусних пресека (иако се једном једначином другог реда означава конусни пресек), а већи део излагања је посвећен теорији алгебарских једначина.

Из сачуваних писама Пјера Ферма може се видети да је он развио идеју аналитичке геометрије пре објављивања Декартовог дела о тој теми. Декарт је предложио представљање криве једначином, изучавање добијене једначине и на тај начин утврђивање особина саме криве, док је Ферма суштински урадио исто проглашавајући једначину „специјалном особином“ криве и изводећи све остале особине посматране криве из ње.

Чињеница да је могуће интерпретирати еуклидску геометрију језиком аналитичке геометрије (што значи да је свака теорема прве, у исто време и теорема друге) је кључни корак у доказу Алфреда Тарског да је еуклидска геометрија конзистента и одлучива.

Координатни систем

Основа аналитичке геометрије је кориштење координатног система. Обично се користи Картезијев координатни систем.

Аналитичка геометрија у 2

Координатни систем и трансформације

Са (x, y) означавају се почетне координате, а са (x', y') нове.

Паралелно померање

Ако x₀, y₀ су координате координатног почетка у новом систему, онда вреди:

${\displaystyle x'=x-x_{0},\quad y'=y-y_{0}\,}$

Ротација

Ако се угао ротирања ${\displaystyle \alpha }$ сматра позитивним (угао којим се позитивна x-оса треба померати да би се подударила с позитивном y-осом) онда су формуле за трансформацију:

${\displaystyle x'=x\cos \alpha +y\sin \alpha \quad x=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha \,}$

${\displaystyle y'=y\cos \alpha -x\sin \alpha \quad y=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \,}$

Удаљеност између две тачке

Удаљеност између тачака (x₁, y₁) и (x₂, y₂) је:

${\displaystyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\,}$

Површина троугла

Ако врхови троугла имају координате (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃), њихова површина је

${\displaystyle \pm T={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]\,}$

Да би било позитивно, морају тачке (x₁,y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) следити једна другу у позитивном правцу , тј. супротно смеру кретања казаљки на сату.

Дељење удаљености

Ако се удаљеност између тачака (x₁, y₁) и (x₂, y₂), дели у односу на координате ће бити:

${\displaystyle x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},\quad y={\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\,}$

Коефицијент угла правца

Нека ${\displaystyle \alpha }$ је угао који правац затвара с x-осом. Ако правац пролази кроз тачке (x₁, y₁) и (x₂,y₂) онда је коефицијент угла правца:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}};\quad x_{1}\neq x_{2}\,}$

Једначина правца

Једначина правца је једначина првог реда по x и y и општа формула је

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

Свака једначина првог реда представља правац.

${\displaystyle x=a\,}$

значи правац паралелан с y-осом и

${\displaystyle y=b\,}$

працац паралелан с x-осом.

${\displaystyle y=k\,x\,}$

је правац кроз координатни почетак.

к-формула

Правац се може написати и у облику

${\displaystyle y=k\,x+m\,}$

ако је правац паралелан с y-осом, тј. је различито од нуле. Овдје је к коефицијент угла правца

${\displaystyle k=\frac {A}{B}},\quad m=\frac {C}{B}}\,}$

и y-координате додира правца с y-осом.

Пресек

Параметри пресецања су тачке пресека праваца x-осе и y-осе и пишу се

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$

где је x-координата за тачку пресека правца с x-осом а је y-координата за тачку пресека правца с y-осом или

${\displaystyle a=\frac {C}{A}},\quad b=\frac {C}{B}}\,}$

Стандардни облик

${\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}$

је стандардни облик правца. ${\displaystyle \alpha }$ а се одређује из

\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}"> m = − C A 2 + B 2 , {\displaystyle m=-{\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \sin \alpha ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

Znak kvadratnog korena se bira tako da буде позитивно.

је дужина нормале из координатног почетка до правца и ${\displaystyle \alpha }$ је угао те нормале с x-осом.

Удаљеност тачке од правца

Правац написан у стандардом облику

${\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -m=0\,}$

Онда је удаљеност тачке с координатама (x₁,y₁):

${\displaystyle p=\pm (x_{1}\cos \alpha +y_{1}\sin \alpha -m)\,}$

где се знак + бира ако координатни почетак и леже на различитим странама правца.

Формула правца кроз једну тачку

Једначина за правац кроз тачку (x₁, y₁) с угаоним коефицијентом k је

${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})\,}$

Формула правца кроз две тачке

Једначина за правац кроз тачке (x₁, y₁) и (x₂, y₂) је

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2y_{1}}{x_{2x_{1}}}(x-x_{1})\,}$

Угао између два правца

Ако су коефицијенти угла правца k₁ и k₂ угао између праваца израчунава се као:

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {k_{2k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}\,}$

Криве у равни

Крива у ортогоналном координатном систему даје везу између координата x и y и може се написати као функција.

Једначина криве се може написати у експлицитном облику

${\displaystyle y=f(x)\,}$

у имплицитном облику

${\displaystyle F(x,y)=0\,}$

или у параметарском облику

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)\,}$

У поларним координатама ${\displaystyle (r,\psi )}$ једначина криве је

${\displaystyle r=f(\psi )\,}$

или

${\displaystyle F(r,\psi )=0\,}$

Тангента

Коефицијент угла за тенгенту једног правца у правоугаоним координатима је једнак деривацији функције у тачки додира:

${\displaystyle k={\frac {dy}{dx}}={\frac {d\,f(x)}{dx}}\,}$

${\displaystyle k=\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}\,\quad {\text{(implicitan oblik)}}}$

${\displaystyle k={\frac {y'(t)}{x'(t)}}\,\quad {\text{(parametarski oblik)}}}$

Асимптоте

С асимптотом једне криве мисли се на правац такав да раздаљина између правца и тачке на кривој иде према нули где тачка иде у бесконачност. Ако се асимптота криве пише помоћу једначине , онда се и određuju prema:

${\displaystyle k=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{x}},\quad m=\lim _{x\rightarrow \infty }[f(x)-kx]\,}$

Аналитичка геометрија у 3

Координатни систем у ³

Координатни систем

Координатни систем у ³ користи три равни, обично нормалне једна на другу. Тачке пресека се називају x-, y- и z-osа. Ove tri ravni označavaju se po ulaznim osama kao xy-раван, yz-раван и xz-раван.

Правоугаоне координате

Косинус смера

Координате тачке P' (x, y, z) су нормалне удаљености до yz-, xz- и xy-равни. Ако су ${\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,}$ углови између вектора положаја дужине и оса онда је

${\displaystyle x=r\cos \alpha ,\quad y=r\cos \beta ,\quad z=r\cos \gamma }$

где

${\displaystyle \cos \alpha ,\,\cos \beta ,\,\cos \gamma }$

су косинуси смера означени са , и за које вреди

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}$

Угао између два правца

Ако имамо два правца, ₁ са косинусима смера ₁, ₁ и ₁ i ₂ са косинусима смера ₂, ₂ и ₂, онда вреди за угао ${\displaystyle \theta }$ између ₁ и ₂:

${\displaystyle \cos \theta =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\,}$

Ротација координатног система

С прелазом из правоугаоног координатног система (xyz) у један други (x'y'z') са заједничким координатним почетком али различитим смеровима оса и смеровима косинуса у xyz-осе означене

за x'-оса са ${\displaystyle (a',b',c')\,}$

за y'-оса са ${\displaystyle (a'',b'',c'')\,}$

за z'-оса са ${\displaystyle (a''',b''',c''')\,}$

биће трансформације

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a'x'+b'y'+c'z'\\y&=a''z'+b''y'+c''z'\\z&=a'''x'+b'''y'+c'''z'\end{aligned}}{\begin{aligned}\qquad x'&=a'x+a''y+a'''z\\y'&=b'x+b''y+b'''z\\z'&=c'x+c''y+c'''z\end{aligned}}}$

Удаљеност између две тачке

Удаљеност између тачака (x₁, y₁, ₁) и (x₂, y₂, ₂) је

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}\,}$

Ако су , и косинуси правца за правац између две аочке, онда се израчунавају као

${\displaystyle a={\frac {x_{2}-x_{1}}{d}},\quad b={\frac {y_{2}-y_{1}}{d}},\quad c={\frac {z_{2}-z_{1}}{d}},\,}$

Раван у ³

Ако је (x₀, y₀, z₀) јединични вектор до једне тачке у равни и () је нормалан вектор на раван, може се једначина равнини написати као скалрарни производ нормалног вектора и векторa (x - x₀, y - y₀, z - z₀):

${\displaystyle (A,B,C)(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0\,}$

што даје генерални облик једначине равни као

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}$

где је

${\displaystyle -(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})\,}$

Једначина првог реда увек представља раван. Косинуси правца за нормалу равни су

${\displaystyle {\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\quad {\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}},\,}$

Знак пред кореном се изабире тако да је

${\displaystyle {\frac {D}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}}\,}$ увек позитиван. На тај начин је нормала усмерена према равниној „позитивној” страни.

Нормални облик

Дељењем са

${\displaystyle \pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}\,}$

добија се једначина равни у нормалном облику

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p\,}$

где су ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ углови које нормала на равац чини с координатним осама а је удаљеност нормале од координатног почетка па до равни.

Векторски облик

Једначина равни с нормалним вектором , датом тачком ₀ и као јединичним векторим за произвољну тачку (x, y, z) у равни је

${\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\mathbf {n} =0\,}$

Удаљеност тачке од равни

Координате тачке се пишу у нормалном облику равни

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\,}$

а удаљеност је онда једнака левој страни једначине са предзнаком '-' ако се тачка и координатни почетак налазе на истој страни равни, иначе са предзнаком '+'.

Пример:

Израчунати удаљеност од тачке (1, -3, 2) до равни

${\displaystyle x+2y-2z+6=0\,}$

Једначина равни у нормалном облику

${\displaystyle {\frac {x+2y-2z+6}{-3}}=0;\quad d={\frac {1-3\cdot 2-2\cdot 2+6}{-3}}=1\,}$

Важни појмови аналитичке геометрије

• векторски простор
• скаларни производ, за одређивање угла између два вектора
• векторски производ, за одређивање вектора нормалног на два дата вектора, као и запремине паралелопипеда који они одређују
• дефиниција равни
• проблем растојања
• криве другог реда

Многи од ових проблема улазе у домен линеарне алгебре.