Бијекција

У математици, за функцију из скупа у скуп се каже да је бијективна ако за свако из постоји тачно једно из , такво да је .

Бијективна функција

Другим речима, је бијекција ако је уједно и 1-1 (инјекција) и на (сурјекција) између ова два скупа.

На пример, бијективна је функција „насл“, дефинисана на скупу целих бројева , тако да сваки цео број пресликава у цео број насл() = + 1. Други пример може бити функција „збиразл“, која сваки пар реалних бројева пресликава у пар збиразл.

Бијективна функција, или бијекција се такође назива и пермутацијом. Овај назив се углавном користи када је . Скуп свих бијекција из у се означава као ${\displaystyle {}\leftrightarrow {}}$.

Бијективне функције играју важну улогу у многим областима математике, на пример у дефиницији изоморфизма.

Композиција и инверзија

Функција је бијекција акко је њена инверзна функција ⁻¹ функција (а не тек уопштена функција). У том случају, ⁻¹ је такође бијекција.

Композиција две бијекције ${\displaystyle \;:\;}$ ${\displaystyle {}\leftrightarrow {}}$ и ${\displaystyle \;:\;}$ ${\displaystyle {}\leftrightarrow {}}$ је бијекција. Инверз је .

Бијекција састављена од инјекције и сурјекције.

Са друге стране, ако је композиција две функције бијекција, можемо у општем случају рећи само да је инјекција, а сурјекција.

Релација из у је бијекција ако и само ако постоји друга релација из у , таква да је идентитет на , а је идентитет на . Таква два скупа и имају исту кардиналност.

Бијекције и кардиналност

Ако су и коначни скупови, тада постоји бијекције између скупова и акко и имају исти број елемената. У ствари, у аксиоматској теорији скупова, ово се и узима као дефиниција „истог броја елемената“, и генерализација ове дефиниције за бесконачне скупове доводи до концепта кардиналних бројева, који су начин да се разликују величине бесконачних скупова.

Примери и контрапримери

• За сваки скуп , идентична функција из у , дефинисана као , је бијекција.
• Функција из скупа реалних бројева у дефинисана као је бијекција, јер за свако постоји јединствено такво да .
• Експоненцијална функција ${\displaystyle \rightarrow }$ , са , није бијекција: на пример, не постоји из , таво да , што показује да није сурјекција. Међутим, ако се кодомен промени у позитивне реалне бројеве _>0 =]0,+∞), тада постаје бијекција; њен инверз је природни логаритам, .
• Функција ${\displaystyle \rightarrow }$ [0,+∞) дефинисана као није бијекција: на пример, , што показује да није инјекција. Међутим, ако се њен домен промени у [0,+∞), тада постаје бијекција; њен инверз постаје функција позитивног квадратног корена.
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$ није бијекција, јер −1, 0, и +1 који су сви у домену пресликава у 0.
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$ није бијекција, јер и π/3 и 2π/3 који су у домену пресликава у (√3)/2.

Својства

• Функција из у је бијекција ако и само ако било која хоризонтална линија пресеца њен граф у тачно једној тачки.
• Ако је скуп, онда бијективне функције скупа на самог себе, заједно са операцијом композиције функција, граде групу, симетричну групу скупа , која се означава , , или ! (последње се чита " факторијел"). Доказује се да је свака група изоморфна некој подгрупи симетричне групе .
• Ако је бијекција, тада за сваки подскуп домена и сваки подскуп кодомена вреди и .
• Ако су и коначни скупови исте кардиналности, и , тада су следећи искази еквивалентни:

1. је бијекција.
2. је сурјекција.
3. је инјекција.

Види још

• Инјективно пресликавање
• Изоморфизам
• Пермутација
• Симетрична група
• Сурјекција