Вајерштрасова теорема о екстремној вредности

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности (Теорема о екстремној вредности) у математичкој анализи тврди да ако је функција непрекидна на затвореном интервалу , тада има максималну и минималну вредност на том интервалу најмање једном.

Непрекидна функција на затвореном интервалу има минимум (плаво) и максимум (црвено).

То јест, постоје бројеви , и у интервалу , такви да за свако у важи

${\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d).}$

Слабија верзија ове теореме је теорема о ограничнеости, која тврди да је , ако је непрекидна на затвореном интервалу , ограничена на том интервалу. То јест, постоје бројеви и , такви да за свако у важи

${\displaystyle l\leq f(x)\leq L.}$

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности појачава теорему о ограничености тврдњом да не само да је функција ограничена, већ да има и најмању горњу границу као максимум, и највећу доњу границу као минимум.

Вајерштрасова теорема о екстремној вредности се користи у доказу Ролове теореме.

Доказ теореме

Навешћемо доказ за максимум, а доказ за минимум је врло сличан. Такође, треба имати у иду да је цео доказ изведен у контектсту реалних бројева.

Прво доказујемо теорему о ограничености, која је корак у доказивању Вајерштрасове теореме о екстремној вредности. Основни кораци у доказу теореме о екстремној вредности су:

1. Доказати теорему о ограничености.
2. Наћи низ, такав да његова слика конвергира супремуму од .
3. Показати да постоји подниз који конвергира тачки унутар домена.
4. Користити непрекидност да се покаже да слика низа конвергира супремуму.

Доказ теореме о ограничености

Претпоставимо да није ограничена. Тада, по Архимедовом својству реалних бројева, за свако , постоји унутар такво да . Специјално, за свако из , постоји ${\displaystyle x_{k}}$ такво да (${\displaystyle x_{k}}$) > . Ово дефинише низ ${\displaystyle x_{k}}$. Како је ограничено, по Болцано-Вајерштрасовој теореми, постоји конвергентан подниз {${\displaystyle x_{n_{k}}}$} од {${\displaystyle x_{k}}$}. Како је затворен, {${\displaystyle x_{n_{k}}}$} конвергира неком у . Како је непрекидна на , знамо да (${\displaystyle x_{n_{k}}}$) конвергира ка . Али, (${\displaystyle x_{n_{k}}}$) > ${\displaystyle n_{k}}$ > за свако , што имплицира да (${\displaystyle x_{n_{k}}}$) дивергира ка бесконачности, што је контрадикција. Следи да је ограничена одозго.

Доказ Вајерштрасове теореме о екстремној вредности

Сада ћемо показати да има максимум унутар . Према теореми о ограничености, је ограничено одогзо, постоји најмања горња граница (супремум) од . Неопходно је наћи ${\displaystyle x_{0}}$ у такво да ${\displaystyle c=f({x_{0}})}$. Нека је природан број. Како је најмања горња граница, ${\displaystyle c-1/n}$ није горња граница за . Стога, постоји ${\displaystyle x_{n}}$ у такво да ${\displaystyle c-1/n}$ < (${\displaystyle x_{n}}$). Ово дефинише низ {${\displaystyle x_{n}}$}. Како је горња граница за , ${\displaystyle c-1/n}$ < (${\displaystyle x_{n}}$) ≤ за свако . Стога, {(${\displaystyle x_{n}}$)} конвергира ка .

Болцано-Вајерштрасова теорема нам говори да {${\displaystyle x_{n_{k}}}$} постоји у {${\displaystyle x_{n}}$} такво да {${\displaystyle x_{n_{k}}}$} конвергира неком ${\displaystyle x_{0}}$ и, како је затворен, ${\displaystyle x_{0}}$ је унутар . Како је непрекидна на , {(${\displaystyle x_{n_{k}}}$)} конвергира ка (${\displaystyle x_{0}}$). Али, {(${\displaystyle x_{n_{k}}}$)} је подниз {(${\displaystyle x_{n}}$)} који конвергира ка , па ${\displaystyle c=f(x_{0})}$. Тада је ${\displaystyle x_{0}}$ максимум .

Примери

Следећи примери показују зашто домен функције мора да буде затворен и ограничен.

Ограничен. дефиницана на ${\displaystyle [0,\infty )}$ није ограничена одозго.

Затворен. дефинисана на [0,1) никад не постиже своју најмању горњу границу, 1.

Тополошка формулација

У општој топологији, Вајерштрасова теорема о екстремној вредности потиче из опште чињенице да је компактност очувана под непрекидношћу, и чињенице да је подскуп реалне праве компактан ако и само ако је и затворен и ограничен.

Спољашње везе

• Доказ теореме о екстремној вредности